4.3. Метод половинного деления (дихотомии)

Сформулируем без доказательства очень важную для рассмотрения дальнейших вопросов теорему.

Теорема: Если непрерывная функция F(X) Принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], То есть F(α)·F(β) < 0, То внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения F(X) = 0, А именно: найдётся хотя бы одно число Такое, что F(ξ) = 0.

Пусть дано уравнение

F(X) = 0, (4.3)

Где функция F(X) определена и непрерывна на интервале [A, B] и F(A)·F(B) < 0. Для нахождения корня уравнения делим отрезок [A, b] пополам:

· если F((A + B)/2) = 0, то ξ = (A + B)/2 является корнем уравнения (4.3);

· если , то выбираем ту половину отрезка [A, (A + B)/2] или [(A + B)/2, B], на концах которого функция F(X) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [A1, B1] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т. д.

Очевидно, что закончить уточнение значения корня можно при достижении условия |аJ – Bj| < ε , где ε > 0 - сколь угодно малое число. Второй способ закончить вычисления - задать максимальное значение невязки:
F((Aj + Bj)/2) < ε.

Замечания

· Метод половинного деления очень прост, здесь нет вычислительной формулы и можно обеспечить практически любую точность.

· Как недостаток метода можно отметить его медленную сходимость (за один шаг интервал, где находится корень, сужается всего в два раза).

< Предыдущая		Следующая >