3.2. Метод Гаусса

Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие данный метод. Рассмотрим одну из них – Схему единственного деления.

Для простоты ограничимся рассмотрением СЛАУ с четырьмя неизвестными:

(3.7)

Пусть A11 ¹ 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение на A11, получим Первую главную строку:

(3.8)

Где (J = 2,3,4,5).

Используя уравнение (3.8), можно исключить неизвестные X1 из 2-го,
3-го и 4-го уравнений системы (3.7). Для этого последовательно умножаем уравнение (3.8) на A21; A31; A41 и вычитаем результат из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (3.7) соответственно.

В результате получим систему из трех уравнений:

(3.9)

Где коэффициенты вычисляются по формуле

(I = 2, 3, 4; J = 2, 3, 4, 5). (3.10)

Далее первое уравнение системы (3.9) делим на Ведущий элемент и получаем

(3.11)

Где , (J = 3, 4, 5).

Аналогично предыдущему шагу, исключая X2, как и X1, получим систему

(3.12)

Здесь (I = 3, 4; j = 3, 4, 5).

Разделив первое уравнение системы (3.12) на , получим:

(3.13)

Где (J = 4, 5).

Теперь с помощью уравнения (3.13) исключим X3 из второго уравнения системы (3.12), окончательно получим:

, (3.14)

Где (J=4, 5).

Таким образом, исходную систему (3.7) привели к составленной из Главных строк (3.8), (3.11), (3.13) и (3.14) эквивалентной системе с треугольной матрицей(3.15):

(3.15)