27. Лекция 7. Кривые второго порядка

Основные понятия:

Эллипс; гипербола; парабола; фокусы эллипса; уравнение эллипса; каноническое уравнение эллипса; эксцентриситет эллипса; фокальные радиусы; директрисы эллипса; фокусы гиперболы; каноническое уравнение гиперболы; асимптота гиперболы; оси гиперболы; вершины гиперболы; полуоси гиперболы; эксцентриситет гиперболы; фокальные радиусы гиперболы; директрисы гиперболы; каноническое уравнение параболы; ось параболы.

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными и записывается в виде . Если выбрать на плоскости некоторую прямоугольную систему координат, то в ней уравнение называется уравнением фигуры при выполнении следующих двух условий:

1. Если точка принадлежит фигуре , то координаты являются решениями уравнения , т. е. ;

2. если пара чисел является решением уравнения , то точка принадлежит фигуре .

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть – решение уравнения .

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т. е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру , уравнением которой является ;

2. дана фигура и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т. е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);

2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

< Предыдущая		Следующая >