09. Многочлены и рациональные дроби. Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона

Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются Алгебраическими выражениями.

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются Формулы сокращенного умножения:

– квадрат суммы;

– квадрат разности;

– разность квадратов;

– куб суммы;

– куб разности;

– сумма кубов;

– разность кубов.

Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой натуральный показатель:

Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями Формулы бинома Ньютона:

(2.1)

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются Биномиальными коэффициентами.

Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется Треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:

Показатель степени

(2.2)

Числа в строке с определенным номером N, N Î N, являются последовательными коэффициентами в формуле для данного N.

Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:

1) в разложении двучлена По формуле Ньютона содержится N + 1 член;

2) в разложении Показатель степени А убывает от N до 0, а показатель степени B возрастает от 0 до N;

3) сумма показателей степеней A и B в каждом члене равна N;

4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;

5) сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 2N;

6) сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна

Разложение выполняется по тем же правилам с учетом чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т. д.

Пример 1. Вычислить, используя формулы сокращенного умножения, значение выражения

Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение приобретает вид:

Пример 2. Известно, что и Квадратом какого натурального числа является значение

Решение. Так как выражаем: Далее получаем:

Если обозначить искомое число через Х, то т. е. Поскольку то в качестве ответа подходит

Пример 3. Вычислить значение выражения

при У = 1,6, х = –1,4.

Решение. Упростим выражение, используя формулы суммы кубов и разности квадратов:

При Y = 1,6 и X = –1,4 полученное выражение будет равно

Пример 4. Разложить выражение по формуле бинома Ньютона.

Решение. Используем формулу бинома Ньютона (2.1) и треугольник Паскаля (2.2) с учетом N = 5.

Разложение будет иметь вид:

Пример 5. Упростить выражение используя формулы сокращенного умножения, а затем вычислить его значение для

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на и используем формулу (2.1). Получаем

Далее используем формулу разности кубов:

Если то

< Предыдущая		Следующая >