42. Векторное произведение

1. Ориентация векторов. В пространстве различают два вида упорядоченных троек векторов.

Определение 1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов A, B, C Называется Правой (Левой), если эти вектора, отложенные от одного начала, располагаются так же, как расположены большой, указательный средний пальцы правой (левой) руки.

Данному правило различия правой и левой троек векторов можно придать следующие равносильные формулировки.

Правило правого винта или буравчика. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов A, B, C Является Правой (Левой), если правый (левый) винт вращать по наименьшему углу от вектора A к B, то направление винта совпадает с направлением вектора C.

Тройка A, B, C правая, если смотреть с конца вектора на плоскость векторов, то поворот A от B к по кратчайшему углу происходит против часовой стрелки.

Замечание 1. Так как в самой геометрии нет понятия правого и левого, то необходимо дать такое определение, которое основывается только на понятиях самой математики. Для этого выберем, какую-нибудь тройку векторов и назовем ее основной (правой). Далее две тройки векторов назовем Ориентированными одинаково (Противоположно), если определитель матрицы перехода от первой тройки ко второй >0 (<0). Тогда все тройки, ориентированные одинаково с основной тройкой назовем правыми, а остальные тройки назовем левыми.

2. Векторное произведение.

Определение 7. Векторным произведением неколлинеарных векторов A и B называется вектор С, который обладает следующими свойствам:

1) длина вектора С равна произведение модулей этих векторов на синус угла между этими векторами, т. е. |С| = |A||B| sin Ð( a, B);

2) вектор С ортогонален векторам A и B;

3) векторы A, B, с образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов A и B обозначается символом

A ´ B или [A, B].

Из определения 7 следует, что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторов A, B коллинеарны, то полагаем векторное произведение равным 0.

Теорема 1. Для любых векторов A, B, C и для любого числа L справедливы следующие свойства:

1) A ´ a = 0,

2) A ´ b = -B ´ A - антикоммутативный закон,

3) (l A) ´ B = l (A ´ B) - ассоциативный закон,

4) (A + B) ´ C = A ´ C + B ´ C - дистрибутивный закон.

Доказательство. 1. Так как Ð( a, A) = 0, то | a ´ a| = |A||A| sin 0 = 0, и A ´ a = 0.

2. По первому свойству определения 7 модули векторов A ´ b, B ´ A равны. По второму свойству - эти вектора ортогональны векторам A и B и поэтому коллинеарны. По третьему свойству они противоположно направлены. Отсюда следует, что A ´ b = -B ´ A.

3. По первому свойству определения 7, и определению произведения вектора на число модули векторов (l A) ´ B, l (A ´ B) равны |l| |A||B| sinÐ( A, B). По второму свойству - эти вектора коллинеарны. Если l> 0, они сонаправлены с вектором A ´ b, Если l < 0, они направлены противоположно вектору A ´ b. Отсюда следует равенство 2.

4. Если хотя бы один из векторов A, B, C Равен 0 То свойство 4 очевидно. Допустим, что эти вектора неравны нулю, и отложим их от точки O: A = , B = , C = , и проведем через точку плоскость a перпендикулярную направленному отрезку (см. рис. 25).

Если вектор A неколлинеарен вектору C, то вектор A ´ C ортогонален векторам A И C И поэтому лежит в плоскости a. Спроектируем точку A на плоскость a. Получим вектор отрезок , длина которого равна |A| sinÐ( A, С). Вектор A ´ C ортогонален вектору , его длина равна |A||С| sin Ð( a, С) = |С|. Тройка векторов A, C, A ´ C - правая.

Таким образом, A ´ C получается из вектора A По правилам:

Спроектируем на плоскость, получим вектор ;

Повернуть вектор На плоскости на угол 90 по правилу правой руки, получим вектор ;

Умножим вектор на число |С|.

Очевидно, это справедливо и в том случае, когда векторы A и C коллинеарен.

Аналогичным образом получатся векторы (A + B) ´ C и B ´ C из векторов A + B и B (см. рис. 25).

Имеем A + B = = +, то по свойству проекции имеем =+. Повернем каждый из векторов ,, на угол 90о, если смотреть на плоскость a с конца вектора C. Получим вектора ,,. Так как при повороте взаимное расположение векторов сохраняется, и сумма векторов переходит в сумму векторов, то =+

Умножением каждый из векторов ,, на число |A| и получим вектора ,,, равные соответственно векторам (A + B) ´ C, A ´ C, B ´ C. В силу дистрибутивного закона =|A| =|A|+|A|= +. Поэтому (A + B) ´ C = A ´ C + B ´ C.

< Предыдущая		Следующая >