41. Ортонормированный базис

Определение 5. Базис E1, E2, …, EN, Векторного пространства V называется Ортонормированным, если

1) вектора базиса попарно ортогональны, т. е. EI ^ EJ; I, J = 1, 2, …, N, I ≠ J.

2) вектора базиса имеют единичную длину, т. е. |EI| = 1; I = 1, 2, …, N.

В силу теоремы 5 условие ортонормированности базиса равносильно равенствам:

EI EJ =

Теорема 6. Скалярное произведение двух векторов A = (a1, a2,... ,aN), B = (b1, b2,... ,bN), заданных своими координатами в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений, соответствующих координат этих векторов, т. е.

A B = (a1b1, a2b2,... ,aNBN). (4)

Доказательство. Пусть E1, E2, …, EN - ортонормированный базис. По определению координат вектора A = a1E1+ a2E2 +... + aNEN, B = b1 E1+ B2 E2 +... + bNEN. Тогда по свойствам скалярного произведения и определению ортонормированного базиса получаем

a b = EIEJ = eI EJ = EI EI = .

Стандартный ортонормированный базис пространства V3 обозначается буквами I, J, K, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами X, Y, Z: A = (X1, Y1, Z1), B = (X2, Y2, Z2). Тогда имеем

A B = X1X2 + Y 1Y2 + Z1Z2. (5)

По теореме 5 получаем следствие.

Следствие 1. A ^ B Û X1X2 + Y 1Y2 + Z1Z2 = 0.

По теореме 4 свойства скалярного произведения A2 = |A|2. Отсюда выводим формулу для длины вектора С = (X, Y, Z),

|С| =. (6)

Если вектора A и B не нулевые, то определения скалярного произведения векторов находим формулу для косинуса угла j между векторами A и B:

Cos j = (A B) /(|A||B|) = , (7)

Стандартный ортонормированный базис пространства V2 обозначается буквами I, J, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами X, Y: A = (X1, Y1), B = (X2, Y2), с = (X, Y). Тогда имеем

A B = X1X2 + Y 1Y2. (8)

Следствие 1. A ^ B Û X1X2 + Y 1Y2 = 0.

|С| =. (9)

Косинус угла j между векторами A и B Находится по формуле:

Cos j = . (10)

< Предыдущая		Следующая >