39. Скалярное произведение

Определение 5. Скалярным произведением Двух ненулевых векторов A и B Называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами. Если хотя бы один из векторов или нулевой, то скалярное произведение полагается равным нулю.

Скалярное произведение векторов A и B обозначается символом A b или (A, b).

По определению скалярного произведения имеем

A B = |A||B| cos j, где j = Ð( A, B). (2)

В силу свойства 3 теоремы 3 формулу (2) можно записать следующим образом:

A B = |B| прB A. (3)

Теорема 4. Для любых векторов A, B, C и для любого числа L справедливы следующие свойства:

1) A b = B a - коммутативный закон,

2) (A + B) C = A C + B C - дистрибутивный закон,

3) (l A) B = l (A B) - ассоциативный закон,

4) A2 = A a = |A|2,

5) A2 ³ 0, A2 = 0 Û A = 0.

Доказательство. 1. Так как угол между векторами A И B равен углу между векторами B и A, то cos Ð( a, B) = cosÐ( B, A) и поэтому A b = B a.

2. (A + B)C=|С|прС(A + B)=|С|(прСa + прСb)=|С|прСa + |С|прСb = aC + B C.

3. (l A) b = |B| прB (l A) = |B| l прB A = l |B| прB A = l (A b).

4. A2 = A a = |A||A| cos 0 = |A|2.

5. Из свойства 4 следует, что A2 = |A|2³ 0. A2 = 0Û|A| = 0 Û A = 0.

< Предыдущая		Следующая >