38. Скалярная проекция вектора

Определение 5. Пусть L Числовая ось, E - орт числовой оси. Проекцией (Скалярной проекцией) Вектора A на ось L Называется число равное координате вектора ПрL A в базисе E.

Проекция вектора A на ось L изображается символом прL A, или прE A . По определению проекции вектора имеем

ПрL A = прE A×E. (1)

Проекцию вектора A на ось L можно задать произвольным вектором B, сонаправленным с вектором E. В этом случае ее также обозначают символом прB A и называют проекцией вектора A на вектор B. И по определению имеем прB A = ПрE A.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса проекция по этой формуле определяется однозначно. Из этой же формулы следует, что

ПрL A = прE A = ± |ПрL A|,

Где стоит знак "+", если ПрL A ­­ E , знак "-", если ПрL A ­¯ E.

Теорема 3. Для любых векторов A, B, C и для любого числа L справедливы следующие свойства:

1) прC (A + B) = прC A + прC B;

2) прC (l A) = l прC A,

3) прC A = |A| cos j, где j = Ð( a, C).

Доказательство. В силу определения достаточно доказать теорему для того случая когда C - орт числовой оси L. По теореме 2 и формуле (1) получаем

ПрL(A + B) = прE (A + B) ×E,

ПрLA + ПрLB = прEA×E + прEB×E = (прEA + прEB)×E.

В силу однозначности разложения вектора по векторам базиса получаем свойство 1.

Свойство 2 доказывается аналогично. Свойство 3 следует из определения косинуса угла.

< Предыдущая		Следующая >