32. Операция умножения вектора на число и ее свойства

Определение 13. Произведением вектора A на число L Называется такой вектор B, что

1) | B | = | L || A |

2) если l > 0, то A­­B, если l < 0, то A­¯B, если l = 0 или A = 0, то B = 0.

Произведение вектора A на число l обозначается символом L A. Числа называют также Скалярными величинами или Скалярами.

Теорема 8. Вектора A ≠ 0 Коллинеарен вектору B тогда и только тогда, когда найдется такое число, что B = L A.

Доказательство. Если, то по определения 13 следует, что векторы коллинеарны. Обратно, пусть вектора коллинеарны. Тогда, полагая L = ±|B|/|A|, где стоит знак "+", если A­­B, стоит знак "-", если A­¯B, по определению 13 получим B = L A.

Теорема 9. Для любых векторов A, B и для любых чисел l, m Справедливы свойства:

1) l(m A) = (lm) A - Смешенный ассоциативный закон;

2) (l + m) A = l A+ m A - Дистрибутивный закон;

3) l (A + B) = l A + l B - Дистрибутивный закон;

4) 1 A = A - Свойство умножения на единицу.

Доказательство. 1. Если векторы A или B равны 0 Или числа m равны нулю, то равенства 1-3 теоремы почти очевидны (проверте их). Также по определению равенства векторов проверяется равенство 4. Поэтому дальше будем считать, что A ≠ 0, B ≠ 0, lm ≠ 0.

1. Длины векторов l(m A), (lm) A равны |l||m| |A|, и поэтому равны между собой. Далее оба эти вектора коллинеарны вектору A. Если числа l и m одного знака, то направление векторов l(m A), (lm) A совпадает с направлением вектора A. Если числа l и m противоположных знаков, то эти векторы противоположны вектору A. Отсюда по определению векторы l(m A), (lm) A равны.

2. Если числа l и m одного знака, то векторы (l + m) A, l A, m A сонаправлены и |l A+m A| = |l A|+|m A|= |l ||A| + | m|| A| = (| l | + | m | )| A|.

Так как в этом случае |l + m | = | l | + | m |, то |(l + m) A| = || l A + m A|.

Отсюда, по определению равенства векторов (l + m) A = l A + m A.

Случай, когда числа l и m противоположного знака рассмотрите самостоятельно.

3. Если векторы A и B коллинеарны, то по теореме 8 его можно представить в виде B = m A. Тогда по свойствам 1, 2 и 4 имеем

L (A + B) = l (1A + m A) = l (1A) + l (m A) =l A + l (m A) = l A + l B.

Если векторы A и B неколлинеарны, то построим сумму A + B = = +.

Построим вектор l A =, l (A + B) = (см. рис. 15 при l > 0 и рис. 16 при l < 0). Получим, что треугольники ОAB и OCD подобны. Из подобия треугольников и определения 13 получаем, что = l A. Отсюда находим, что l (A + B) = = =+=lA + l B.

Пространство геометрических векторов. Множество V3 всех геометрических векторов пространства является векторным пространством на полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число (см. теоремы 6 и 9 § 1).. Также векторным пространством является множество V2 (V1) всех векторов плоскости (прямой).

Множество всех геометрических векторов, коллинеарных данному вектору A образует подпространство пространства V3 всех геометрических векторов.

< Предыдущая		Следующая >