27. Преобразование координат вектора

Найдем связь между координатными столбцами произвольного вектора A в базисах V и U. Пусть (X1 ,X2 ,... ,Xn)t и (X1¢ ,X2¢ ,... ,Xn¢)t - координатные столбцы вектора A в базисах V и U . Тогда по формуле (3)

A = V×(X1 ,X2 ,... ,Xn)t, A = U×(X1¢ ,X2¢ ,... ,Xn¢)t.

Отсюда по формуле (6) находим

A = V×(X1 ,X2 ,... ,Xn)t = (UT)×(X1¢ ,X2¢ ,... ,Xn¢)t =U(T×(X1¢ ,X2¢ ,... ,Xn¢)t)

И по лемме 1

(X1 ,X2 ,... ,Xn)t = T×(X1¢ ,X2¢ ,... ,Xn¢)t . (8)

Отсюда по определению равенства матриц получаем систему равенств:

X1 = T11X1¢ + T12X2¢ + ... + T1NXn¢,

X2 = T21X1¢ + t22X2¢ + ... + T2NXn¢,

. . . . . . . . . . . . . . . . (9)

Xn = Tn1X1¢ + Tn2X2¢ + ... + Tnnxn¢.

Полученные формулы (8) или (9) называются Формулами преобразования координат, а матрица T так же называется Матрицей преобразования координат.

5. Условие линейной независимости векторов в координатной форме. Рассмотрим систему векторов AI = AI1V1 + AI2V2 + ... +AINVN, I =1, 2, …, K. Составим векторное уравнение

X1A1 +X2A2 + ...+ XkAK = 0. (10)

В силу условия равенства векторов координатной форме уравнение (10) равносильно системе N линейных уравнений с K неизвестными:

(11)

Система (11) имеет нулевое решение. По теореме Кронекера-Капелли она имеет единственное нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен K. Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема 4. Система K векторов N-мерного векторного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов в некотором базисе, равен K.

Следствие 1. Упорядоченная система из N векторов образует базис N-мерного векторного пространства тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов в некотором базисе, равен N.

Ранг квадратной матрицы порядка равен тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю. Таким образом получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Упорядоченная система из N векторов образует базис N-мерного векторного пространства тогда и только тогда, когда равен нулю определитель, составленной из координат этих векторов в некотором базисе.

< Предыдущая		Следующая >