24. Линейная зависимость

Пусть V векторное пространство над полем Р, A1, A2, ..., AK - система векторов из V.

Определение 2. Вектор A называется Линейной комбинацией векторов A1, A2, ..., AK , если A представляется в виде A=a1A1 + a2A2 + ... + aKAK , где коэффициенты a1, a2, ..., aK €Р.

По свойствам векторного пространства всегда справедливо равенство

0×A1 + 0×A2 + ... + 0×AK = 0.

Определение 1. Система векторов A1, A2, ..., AK векторного пространства V называется Линейно зависимой, если существуют такие числа a1, a2, ..., aK €Р Не все равные нулю, что выполняется равенство:

A1A1 +a2A2 + ...+ aKAK = 0. (1)

Определение 2. Система векторов A1, A2, ..., AK векторного пространства V называется Линейно независимой, если равенство (1) выполняется Только тогда, когда все a1, a2, ..., ak €Р равны нулю.

Для того, чтобы проверить данную систему векторов A1, A2, ..., AK на линейную зависимость, необходимо составить векторное уравнение:

X1A1 +X2A2 + ...+ XkAK = 0. (2)

Если это уравнение имеет только нулевое решение, то данная система векторов линейно независима, если оно имеет ненулевое решение, то система векторов линейно зависима.

Пример 1. Вектора A1 = (1, 2), A2 = (2, 3) линейно независимы. Действительно, векторное уравнение x1A1 +x2A2 = 0 принимает вид: x1(1, 2) + x2(2, 3) = (0, 0). Оно равносильно системе уравнений:

Которая имеет только нулевое решение (0, 0).

Свойство 1. Система векторов A1, A2, ..., AK, где k>1, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы был линейной комбинацией остальных векторов.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов A1, A2, ..., AK , где k>1, линейно зависима. Тогда существуют такие числа a1, a2, ..., aK €Р не все равные нулю, что выполняется равенство:

A1A1 +a2A2 + ...+ aKAK = 0.

Можем считать, что ai ≠ 0. Тогда из последнего равенства последовательно получаем

AIAI = - a1A1 -...- aI-1AI-1 - aI+1AI+1 -...- aKAK,

AI=A1 +...+ AI-1 + AI+1 +...+ AK.

Следовательно, вектор AI линейная комбинация остальных векторов системы.

Достаточность. Пусть вектор AI (1 £ I £ K) системы A1, A2, ..., AK есть линейная комбинация остальных векторов:

AI = b1A1 +...+ bI-1AI-1 + bI+1AI+1 +...+ bKAK.

Тогда

b1A1 +...+ bI-1AI-1 + (-1)×AI + bI+1AI+1 +...+ bKAK = 0

И система A1, A2, ..., AK линейно зависима.

Свойство 2. Если система A1, A2, ..., AK содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Предположим, что AI = 0 (1 £ I £ K). Тогда справедливо равенство 0×A1 +...+ 0×AI-1 + 1×AI + 0×AI+1 +...+ 0×AK = 0, где не все коэффициенты равны нулю и данная система векторов линейно зависима.

Свойство 3. Если система состоит из одного ненулевого вектора, то она линейно независима.

Действительно, если вектор A ≠ 0 , То из равенства a A = 0 По свойству 10 векторного пространства следует, что a = 0, и вектор A образует линейно независимую систему.

Свойство 4. Если какая-нибудь подсистема данной системы векторов A1, A2, ..., AK линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы векторов A1, A2, ..., AK линейно зависима. Для определенности будем предполагать, что линейно зависима подсистема, состоящая из первых L Векторов. Тогда найдутся такие числа a1, a2, ..., aL €Р не все равные нулю, что выполняется равенство:

A1A1 + a2A2 + ...+ aLAL = 0.

Отсюда по свойству векторов следует, что

A1A1 +a2A2 + ...+ aLAL + 0×AL+1 + ...+ 0×AK = 0.

Так как среди чисел a1, a2, ..., aL , 0, ..., 0 есть числа не равные нулю, то система векторов A1, A2, ..., AK линейно зависима.

Свойство 5. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Доказательство. Если допустить, что какая-нибудь подсистема данной системы векторов линейно зависима, то по свойству 4 вся система векторов линейно зависима. Получаем противоречие.

Свойство 6. Пусть система векторов A1, A2, ..., AK линейно независима, а система векторов A1, A2, ..., AK, B линейно зависима. Тогда вектор B есть линейная комбинация векторов A1, A2, ..., AK .

Доказательство. Так как система векторов A1, A2, ..., AK, B линейно зависима, тогда найдутся такие числа a1, a2, ..., aK , b€Р не все равные нулю, что выполняется равенство:

A1A1 +a2A2 + ...+ aKAK + b×B = 0. (3)

В этом равенстве число b≠0. Действительно, если b=0, то равенство (3) приводится к виду:

A1A1 +a2A2 + ...+ akAK = 0,

Где не все числа a1, a2, ..., ak €Р не все равные нулю. Отсюда следует, что система A1, A2, ..., AK линейно зависима. Получаем противоречие с условием. Следовательно, b≠0 и из равенства (3) находим линейное выражение вектора B через вектора A1, A2, ..., AK :

B = A1 + A2 +...+ AK.

< Предыдущая		Следующая >