15. Теорема об определителе произведения матриц

Теорема 4. Определитель произведения двух квадратных матриц А и В порядка n равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Или

Доказательство. Пусть

, .

Тогда

Так как каждый элемент 1-й строки матрицы АВ есть сумма N чисел, то свойству определителя сам определитель есть сумма N, у которых каждый элемент каждой строки, начиная со второй (в том числе и 2-й) сумма N чисел. Тогда каждый из полученных N определителей разлагается на N определителей, а определитель матрицы АВ разлагается на сумму N2 определителей, у которых каждый элемент каждой строки, начиная с третьей (в том числе и 3-й) сумма N чисел. Продолжая этот процесс, представим определитель матрицы АВ в виде суммы Nn Определителей:

Общие множители каждой из строк выносим за знак определителя и поучаем:

Если среди чисел есть равные, то в соответствующем определителе указанной выше суммы будет имется по кравйней мере две равные строки и определитель обратится в ноль. Поэтому в этой сумме останутся только такие слагаемые, которые соответствуют попарно различным числам . Тогда эти числа образуют N-перестановку из чисел 1,2,...,N. В сумме останутся только такие слагаемые, которым соответствуют престановки

, (2)

И сумма запишется в виде:

В определителе, который стоит под знаком суммы, переставим строки так: если , то оставим первую строку на своем месте, в противном случае переставим первую строку и ту, в которой ; если , то оставим первую строку на своем месте, в противном случае переставим первую строку и ту, в которой ; и т. д. после T престановок строк определитель под знаком суммы будет равен:

Если в соответствии с указанными выше перестановками строк в определителе мы будем производить перестановки (транспозиции) столбцов в подстановке (2), то после T транспозиций подстановка (2) перейдет в единичную подстановку. Так как единичная подстановка имеет знак +1 и каждая транспозиция меняет знак на противоположный, то знак подстановки (2) . Поэтому

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >