127. Приведение кривой второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду по методу собственных значений

Любой матрице A порядка N соответствует линейный оператор j в пространстве R N, заданный формулой j(X) = AX. Справедлива теорема.

Теорема 1. Для любой симметрической матрицы A порядка N в пространстве R N имеется ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов матрицы А.

Алгоритм построения ортонормированного базиса.

1. Составить характеристическое уравнение матрицы det(A- LE) = 0 и найти все собственные значения матрицы A.

2. Для каждого собственного значения составить систему однородных линейных уравнений (A- LE)X = 0 и найдем фундаментальную систему решений и ортогонализуем ее.

3. Объединяем все полученные ортогональные системы и нормируем полученный базис. Получим ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов матрицы А.

Пример. Найти ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов матрицы .

1. Составить характеристическое уравнение матрицы и найдем все собственные значения матрицы A

.

2. Найдем собственные векторы, решая системы уравнений:

,,,

Общее решение первой системы (0, 0, X3 ), фундаментальное решение (0, 0, 1).

Общее решение второй системы (X2, X2, 0 ), фундаментальное решение (1, 1, 0).

Общее решение третьей системы (-X2, X2, 0 ), фундаментальное решение (-1, 1, 0).

Ортогонализовать в данном случае не нужно, так как каждая фундаментальная система решений состоит из одного вектора.

3. Объединяя и нормируя, полученные векторы получим ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А: .

Отсюда получаем алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду:

1. Составить матрицу квадратичной формы.

2. Составить характеристическое уравнение матрицы det(A- LE) = 0 и найти все собственные значения L1, L2, ..., LN матрицы A.

3. Составить квадратичную форму канонического вида F = (при необходимости методом, указанным выше, можно найти канонический базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Пример. Квадратичная форма F(X1, X2, x3) = в силу предыдущего примера имеет канонический вид

F = канонический базис .

Рассмотрим преобразование общей поверхности s второго порядка, заданной уравнением (1) к частным случаям.

1. Выполним ортогональное преобразование поверхности s, при котором квадратичная форма перейдет в квадратичную форму канонического вида , где все собственные значения L1, L2, ..., LN матрицы A =(Aij). При этом поверхность s в новой системе координат OY1Y2Y3 будет иметь уравнение

. (22)

2. Если LI ≠ 0, то соответствующий линейный член A'i в уравнении (2) можно исключить, выполнив преобразование по формулам , если LI ≠ 0, и Zi = Yi, если LI = 0. Уравнение поверхности s примет вид:

. (23)

Теперь возможны случаи.

1) Все A'I = 0 и B" = 0. Тогда уравнение (23) поверхности s представим в виде: . Это поверхность видов 2, 6, 10, 13, 17.

2) Все A'I = 0 и B" ≠ 0. Тогда уравнение (23) поверхности s представим в виде: . Это поверхность видов 1, 3, 4, 5, 9, 11, 12, 15.

2) В (3) найдется A'J ≠ 0. ви B" ≠ 0. Тогда выполнив преобразование (23) по формулам , Wi = Yi, если I ≠J. Уравнение поверхности s примет вид: .

Это поверхность видов 7, 8, 14.

Пример 2. Определим вид поверхности, определяемой уравнением

.

В силу примера в предыдущем параграфе квадратичная форма поверхности имеет канонический вид F = в каноническом базисе . Напишем преобразования координат

.

После этого уравнение поверхности примет вид:

Выделим полный квадрат , и выполним преобразование переменных по формулам: и получим

.

Разделим обе части на 9/8 получим уравнение

Двуполостного гиперболоида.

Пример 1. Определим вид кривой, определяемой уравнением .

Рассмотрим квадратичную форму кривой , и приведем ее к каноническому виду. Составим

Характеристическое уравнение кривой и найдем собственные значения и собственные векторы.

.

Составим векторные уравнения, для нахождения собственных векторов

.

Тогда квадратичная форма поверхности имеет канонический вид F = в каноническом базисе, . Напишем преобразования координат . После этого уравнение поверхности примет вид: Выделим полный квадрат , и выполним преобразование переменных по формулам:

И получим . Разделим обе части на 17/5 получим уравнение гиперболы.

.

< Предыдущая		Следующая >