12. Матрицы. Сложение матриц и умножение матрицы на число

Литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 17-19.

2. Ермаков В. И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра - М, 2000. с. 56-68.

3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 9-16,26-35.

4. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 142-148, 183-190.

1. Определение матрицы было дано в первом параграфе этой главы. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого коммутативного кольца K . Пусть даны две матрицы A и B Равной размерности:

, .

Определение 1. Две матрицы A и B одинаковой размерности называются Равными, если соответствующие элементы матриц равны. Обозначаем .

Определение 2. Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется такая матрица, обозначаемая A+B той же размерности, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц A и B :

.

Определение 3. Произведением матрицы A на число A называется матрица, обозначаемая AA той же размерности, каждый элемент которой есть произведение числа A на соответствующий элемент матрицы A:

.

Нулевой Матрицей называется такая матрица 0, все элементы которой равны нулю. Противоположной матрицей для матрицы A Называется такая матрицы - A , все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы A. Таким образом

.

Теорема 1. Для любых матриц А, В и С И для любых чисел A,B€K Справедливы следующие свойства.

1. (А+В)+С=А+(В+С) - Ассоциативность сложения.

2. А+В=В+А - Коммутативность сложения.

3. Для любой матрицы А имеем А+0=А.

4. Для любой матрицы А имеем А+(-А)=0.

5. (A+B)А=AА+BА - Дистрибутивность относительно сложения чисел.

6. A(А+В)=AА+AВ - дистрибутивность относительно сложения матриц.

7. A(BА)=(AB)А - Ассоциативность умножения на число.

8. 1×А=А.

Доказательство. Доказательства этих свойств основываются на определениях 1-3 и свойствах операций в кольце К. Докажем, например, свойство 6.

.

< Предыдущая		Следующая >