108. Самосопряженные операторы

Опр. 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется Самосопряженным или симметричным, если A = A*, т. е. для любых векторов двух A, B €E выполняется условие:

(Aa, B) = (A, Ab). (1)

Теорема 1. Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т. е. A = A*.

Теорема 2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому являются собственными значениями линейного оператора.

Следствие 1. Если A - действительная симметрическая матрица, то все корни уравнения |A - lE| = 0 действительные числа.

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям ортогональны.

Опр. 2. Подпространство L евклидово пространство E называется Инвариантным относительно линейного оператора A, если образ L при отображении A Лежит в L, т. е. A(L^) Í L^.

Теорема 4. Если подпространство L инвариантно относительно самосопряженного оператора A, то и ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно A.

Теорема 5. Пусть A - самосопряженный линейный оператор, действующий в N-мерном евклидовом пространстве E. Тогда в E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

5) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

6) Найдем все корни характеристического уравнения.

7) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

8) Ортонормируем, полученный базис.

< Предыдущая		Следующая >