105. Ортогональные матрицы и их свойства

Определение 1. Матрица A называется Ортогональной матрицей, если обратная ей матрица A-1 совпадает с матрицей A.

Определение 1 равносильно матричному равенству

At A =E. (1)

Свойство 1. Если A ортогональная матрица, то At A=E, At A=E ,т. е.

Доказательство. Свойство следует из определения 1, и определений произведения и равенства матриц. 

Свойство 2. Если A ортогональная матрица, то Det A =±1

Доказательство. Переходя в равенстве (1) к определителям получим | A |2=| At A | =|E| = 1, | A |= ±1 . 

Теорема 1. Пусть T матрица перехода от ортонормированного базиса V= (V1, V2,…, VN) к базису U евклидова пространства. Базис U ортонормирован тогда и только тогда, когда матрица Т ортогональна.

Доказательство. 1. Пусть U = (U1, U2,…, UN) ортонормированный базис. Рассмотрим матрицу Грама базисов. G = G(V1, V2,…, VN), G' = G(U1, U2,…, UN). Известна формула

G' = Tt G T. (2)

Так матрица Грама ортонормированного базиса единичная, то указанного равенства получаем Tt T =E. Поэтому матрица ортогональна.

2. Обратно. Пусть матрица T ортогональна. Так как матрица G - единичная, то из равенства (2) получим, что матрица G' Единичная. Тогда базис U - ортонормированный.

< Предыдущая		Следующая >