104. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора

1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

2) Найдем все корни характеристического уравнения.

3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

4) Ортонормируем, полученный базис.

Пример. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве Е3, имеет в ортонормированном базисе E1, E2, E3 матрицу

.

Найти в Е3 ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и составить матрицу оператора A в этом базисе.

Решение. 1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

2) Найдем все корни характеристического уравнения: l1=-1, l2 = l3 = 1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид

.

3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

Пусть l1=-1. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C(1,-2,1), C€R.

Пусть l2 = l3 = 1. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C1(2,1,0) + C2(-1,0,1), C€R.

4) Ортонормируем, полученный базис.

A1 = (1,-2,1), A2 = (2,1,0), A3 =(-1,0,1).

B1 = (1,-2,1), B2 = (2,1,0), B3 = A3 + k b2, , b3 =(-1/5, 2/5, 1/5).

.

< Предыдущая		Следующая >