09. Теорема о разложении определителя по элементам ряда

Речь в этом пункте пойдет о выражении определителя n-го порядка (n>1) через определители меньших порядков, что имеет большое значение при вычислении определителей.

Определение 11. Минором (n-1)-го порядка Называется определитель матрицы, которая получается из данной матрицы n-го порядка (n>1) вычеркиванием i-й строки j-го столбца. Обозначается такой минор символом . Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Пример 6. Для данного определителя найдем , и :

Теорема 6 (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель порядка n>1 равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки определителя на соответствующие им алгебраические дополнения, т. о. для i-й строки имеет место разложение:

, (14)

Для j-го столбца имеем :

. (15)

Доказательство. Достаточно в силу замечания 1 доказать теорему для строки. Доказательство состоит из трех частей.

1. Пусть для всех I=1,2,..,N-1, т. е. определитель имеет вид:

.

По формуле (8) имеем

.

Так как =0 для всех , то в сумме выше останутся только такие слагаемые, для которых . Тогда определитель D можно записать в виде:

. (16)

Тогда

.

Поставим в соответствие подстановке подстановку

.

Между такими подстановками существует взаимно однозначное соответствие. Далее число инверсий в подстановках и Одинаково. Поэтому и сумму (16) можно записать в виде:

.

2. Все элементы I-й строки равны нулю за исключением элемента ,

.

Преобразуем этот определитель к предыдущему случаю. Переставим I-ю и (I+1)-ю строки, затем переставим (I+1)-ю и (I+2)-ю строки и т. д. После n-i перестановок строк определитель по свойству 2 приобретет знак . Затем в полученном определителе переставим J-Й и (J+1) столбцы, затем переставим (J+1)-й и (J+2)-й столбцы и т. д. После n-j перестановок столбцов приобретет знак . Тогда после этих преобразований в левом верхнем углу будет стоять минор , а определитель примет вид:

.

Тогда по первому случаю

.

3. Рассматривая общий случай, прибавим к каждому элементу I-й строки N-1 нулей и разложим полученный определитель на сумму N определителей.

.

Теорема доказана.

Выделим в определителе i-Ю и J-ю строки и разложим определитель по элементам I-й строки:

,

Где алгебраические дополнения не зависят от элементов i-й строки. Заменим в обеих частях этого равенства элементы I-й строки на соответствующие элементы J-й строки и получим:

.

Последний определитель имеет две равные строки и поэтому равен нулю. Таким образом получено следствие теоремы 6.

Следствие. Сумма попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) определителя равна нулю, т. е. справедливы формулы:

, (17)

. (18)

Замечание 3. Обобщением теоремы 6 является Теорема Лапласа, которую мы приведем без доказательства. П. С.Лаплас (1749-1827) - французский математик. Чтобы обобщим понятие минора и алгебраического дополнения.

Определение 12. Пусть и в матрице A порядка N вычеркнуты K строк с и K столбцов. Минором k - го порядка называется определитель матрицы составленной с сохранением порядка из элементов, стоящих на пересечении вычеркнутых строк столбцов. Дополнительным минором называется определитель матрицы, составленный с сохранением порядка из невычеркнутых элементов матрицы.

Если вычеркнуты K строк с номерами и K столбцов с номерами , то минор и дополнительный минор обозначаем соответственно символами:

.

Алгебраическим дополнением данного минора называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Пример 7.

.

Теорема 7 (теорема Лапласа). Пусть И в определителе порядка n выбрано k строк. Тогда определитель равен сумме попарных произведений всех миноров порядка k, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Частным случаем теоремы Лапласа является теорема об определителе ступенчатой матрицы. Пусть

,,,

.

Теорема 8 (теорема об определителе матрицы ступенчатого вида). Определитель матрицы D ступенчатого вида равен произведению определителей матриц А и В, т. е. DetD = detA×DetB.

Доказательство. Доказываем теорему методом математической индукции по N. При N = 1 утверждение следует из формулы разложения определителя detD по элементам первой строки. Предположим, что утверждение теоремы имеет место для N - 1 и докажем его для матрицы А порядка N. Для этого обозначим через A1, A2, ..., An и D1, D2, ..., Dn - дополнительные миноры элементов первой строки соответственно матриц А и D. Разложим определитель detD по первой строке:

Каждый из определителей Di ; I = 1, 2, ..., N, является определителем матрицы ступенчатого вида порядка N + M - 1, в нижнем левом углу которого находится матрица В , а в левом верхнем углу находится матрица порядка N - 1, определитель которой равен Ai . К определителям Di применимо индуктивное предположение, т. е. Di = Аi detB. Поэтому

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >