07. Определение определителя

Понятие определителя возникло в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3)

Решим эту систему методом исключения неизвестных. Для этого умножим первое уравнение на , а второе на ,Сложим уравнения и получим:

. (4)

Аналогично, исключая X , получим

. (5)

Выражение называется Определителем квадратной матрицы второго порядка и обозначается специальным символом

.

Тогда, если через и обозначим определители:

,

То равенства (4) и (5) перепишутся в виде:

.

Если , то из них находим

. (6)

Нетрудно проверить, что X и Y , найденные по формулам (6) , являются решением уравнения (3). Аналогичные формулы имеют место и для систем N линейных уравнений с N неизвестными. Способ нахождения решений уравнения (3) по формулам (6) называется Правилом Крамера. Г. Крамер (1704-1752) швейцарский математик, заложил основы теории определителей.

Пусть дана квадратная матрица A порядка N:

.

Определение 8. Определителем n-го порядка или Определителем квадратной матрицы порядка N называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком равным знаку подстановки, первая строка которой составлена из номеров строк, а вторая строка составлена из номеров столбцов, из которых взяты элементы, входящие в произведение.

Обозначается определитель n-го порядка одним из следующих способов:

.

По определению алгебраическая сумма произведений вида:

, (7)

Где индексы образуют некоторую перестановку из чисел 1,2,...,N. Так как по теореме 1 имеется N! перестановок из n элементов, то определитель алгебраическая сумма N! произведений вида (7). Для вычисления знака произведения составим подстановку

И знак произведения (7) будет равен знаку подстановки . Поэтому в символьном виде определитель можно записать так:

, (8)

Где суммирование ведется по всем N! подстановкам N-й степени.

Покажем, что определитель 2-го порядка вычисляется по формуле:

. (9)

Действительно, по определению он равен алгебраической сумме 2!, т. е. 2-х произведений . Знаки этих произведений равны соответственно знакам подстановок:

,

Т. е. 1 и -1, что совпадает с их знаками в формуле (9).

Покажем, что определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:

. (10)

Действительно, по определению он равен алгебраической сумме 3!, т. е. 6-ти произведений

.

Знаки этих произведений равны соответственно знакам подстановок:

.

Эти подстановки имеют соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1 инверсий и знаки их соответственно равны 1, 1, 1, -1, -1, -1, что совпадает с их знаками в формуле (10).

Знаки в формулах (9) и (10) снабжаются по правилам, которые описываются следующими схемами.

При n=2 и n=3

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения определителя, входящие в него со знаком + и -.

Пример 5.

< Предыдущая		Следующая >