4.3. Однородные уравнения

Уравнение вида

называется однородным уравнением.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у = ux, где и — новая искомая функция.

Дифференцируя равенство у = ux, получим:

Подставив выражения у и в уравнение (1), имеем:

откуда

Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение (интеграл) уравнения (3), получаем общее решение (ин-

у

теграл) данного уравнения (1), заменив и на ^•

Пример 4.7. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Разрешим уравнение относительно производной :

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на х2, получим:

т. е. у' есть функция отношенияЭто означает, что данное уравнение — однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию

Тогда у = ux и.Уравнение (*) преобразуется в урав

нение с разделяющимися переменными:

или

откуда

Интегрируя это уравнение, получим откуда т. е.

Заменяя в последнем равенстве и отношением —, окончатель-

x

но получим:

dy x2 + у2

dx 2 xy

Решение. Делая подстановку у = хи, приводим уравнение к виду:

du 1 + и

x--+ и =-

dx 2и

Отсюда

du 1 + и 1 — и x— =--и = -

dx 2и

2и

и потому

dx 2udu. . . . .. 2 I, I _I

— =--; In | x |= — In 11 — и2 | +In | C |;

x 1 — и2

C

2

1—и

Cx 2 2 1 = ~2-г; x — у = Cx;

x2 — у2

2 = x2 — Cx; у = Wx2 — Cx.

у

Задача.

В теории резания возникает следующая задача: найти кривую, касательная к которой в каждой точке образует постоянный угол а с радиусом-вектором этой точки (рис. 52). По условию задачи имеем j = a + у и потому

tg j = tg(a +у) =

tga + tgy 1-tgatgy

(1)

Но из рис. 52 видно, что а, как известно, tg j = у'.

Поэтому равенство (1) можно записать так:

где для краткости положено k = tg а. Это — однородное уравнение. Сделаем подстановку у = xu. После простых преобразований получаем, что

откуда находим

Подставляя вместо и значениеПолучаем равенство:

Это равенство проще записать в полярных координатах, положив.Мы получим, что

Эта кривая называется логарифмической спиралью.

< Предыдущая		Следующая >