1.1. Линейная алгебра. Матричный способ

Рассмотрим решение системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Постановка задачи: дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Требуется найти совокупность n значений та

ких, которые бы отождествляли одновременно все уравнения системы. Такая совокупность значений называется решением системы.

Рассмотрим решение системы (1.1) тремя способами: матричным способом, по формулам Крамера и методом исключения неизвестных — методом Г аусса.

1.1.1. Матричный способ

Определение. Матрицей вида m ¦ n называется таблица вида

Числа образующие матрицу,

называются ее элементами.

Обознаются матрицы буквами

Матрицы вида(число строк равно числу столбцов) называются квадратными n-го порядка. В частности, квадратная матрица n-го порядка вида

называется единичной и обозначается буквой Е. Для нее еслиИЕсли

Матрицы вида:

называются матрицами-строками, а матрицы вида:

— матрицами-столбцами.

Определение. Произведением матрицы (1.2) на числоНазывается матрица

Чтобы умножить матрицу на числоНадо умножить каждый ее элемент на это число.

Наиболее важным является следующее определение.

Определение. Произведением матрицы А (1.2) на матрицу

называется матрица

Произведение матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц не коммутативно, т. е.

Определение. Если в матрице А переставить местами строки и столбцы: 1-й столбец заменить 1-й строкой, 2-й столбец — 2-й строкой и т. д., то полученная в результате матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается Ат.

Например, если

Определение. Определителем квадратной матрицы (aj) n-го порядка, который обозначается |aj |, det A или D называется число, вычисляемое по формуле

или

где — определитель матрицы (n - 1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца:

Таким образом, вычисление определителя матрицы n-го порядка сводится к вычислению определителей матриц (п - 1)-го порядка, которые, в свою очередь, выражаются через определители матриц (п - 2)-го порядка и т. д., до определителей матриц 2-го порядка, которые вычисляются по формуле

по которой и вычисляют определители матриц 3-го порядка. Можно конечно пользоваться и другими формулами, получающимися из (1.3) при i = 2, 3 или (1.4), но окончательный ответ будет один и тот же.

Определение. Определитель матрицы (1.5), обозначаемый MiJ называется дополнительным минором элемента агу (стоящего в пересечении вычеркиваемой строки и столбца), а число называется алгебраическим дополнением элемента агу и обозначаетсяТ. е.

Формула (1.3) называется формулой разложения определителя по i-ой строке, а формула (1.4) — разложением по j-ому столбцу. Учитывая (1.6), формулы (1.3, 1.4) для краткости записывают в виде

или

Например, для матриц 3-го порядка формула (1.3) при i = 1 принимает вид

Решение:

Рассмотрим понятие обратной матрицы.

Определение. Пусть дана матрица А n-го порядка. Если ее произведение на некоторую матрицу B n-го порядка равно единичной матрице Е, т. е.ИлиТо матрицу В называют обратной к матрице А и обозначают А-1.

Можно доказать, что еслиТоТ. е. вза

имно обратные матрицы перестановочны.

Теорема 1. Каждая квадратная матрица А, определитель которойИмеет единственную обратную матрицуЭлементы которойНаходятся по формуле

Из теоремы вытекает правило: чтобы найти обратную матрицу к матрице (1.2), гдеНадо сделать следующие преобразования:

1. Вычислить определительМатрицы

2. Каждый элемент матрицы А заменить его алгебраическим дополнением, т. е. составить матрицу

3. Транспонировать матрицу, т. е. записать матрицу

4. МатрицуУмножить на.

В результате получим матрицу.

Пример 1.2. Найти матрицу, обратную к матрице

Вычисляем определитель данной матрицы (вычислен в предыдущем примере и равен 5). Т. к.То матрица А имеет обратную матрицу

Находим алгебраические дополнения

Составляем матрицу из алгебраических дополнений

Транспонируем полученную матрицу, т. е. переходим к матрице

Проверка.

Возвращаемся к системе (1.1).

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, т. е. матрица

называется матрицей системы, а матрица-столбец, составленная из величин

называется столбцом свободных членов. 22

Составим еще матрицу-столбец неизвестных

Тогда система (1.1) в матричной форме примет вид

ЕслиТо умножая (1.8) наПолучим

На этой формуле основан матричный способ решения систем линейных уравнений.

Пример 1.3. Решить матричным способом систему Решение. Для данной системы

Чтобы воспользоваться формулой (1.9), надо найти матрицу, обратную к матрице А. В примере показано, что матрица А - имеет вид (1.7). Подставляя в (1.9), имеем:

< Предыдущая		Следующая >