02.1. Предел последовательности. Числовые последовательности

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (X1 = 1, Х2 = 1,4, Х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных N-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу N из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., П,... поставлено в соответствие вещественное число Xп, то множество вещественных чисел

X1, x2, x3, …, xn, … (2.1)

Называется Числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа Х1, X2, X3, ..., Xп, ... будем называть Элемента­ми, или Членами последовательности (2.1), символ Xп — Об­щим элементом, или членом последовательности, а число П — Его Номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {хп}. Например, символ {1/N} обозначает последовательность чисел

.

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, xп), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула XП = -1 + (-1)N определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {Хп} = {1/N} на чи­словой прямой.

< Предыдущая		Следующая >