07.4.1. Основные правила интегрирования. Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) F(X) — непрерывная функция на от­резке [А, b]; 2) Функция φ(T) дифференцируема на [α, β], Причем φ'(T) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(T) является отрезок [А, b], 3) φ(α) = А, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется Формулой замены переменной Или Подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к преж­ней переменной, как это делалось при вычислении неопределен­ного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подста­новке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтеграль­ной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку T = 1 + Х2. Тогда Dt = 2Х Dx, t = 1 при Х = 0 и T = 2 при Х = 1. Поскольку функция Х = Непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоре­мы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. Применим здесь подстановку Х = A Sin T. Тогда Dx = A cos T Dt, = A cos T, T = arcsin , T = 0 при X = 0, T = при X = А. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной T = tg Х. Тогда T = 0 при Х = 0 и T = 0 при Х = π, Х = arctg T, Т. е. Dx = Dt / (l + T2). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция за­мены переменной T = Tg X имеет разрыв при Х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

< Предыдущая		Следующая >