03.7.1. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность элементарных функций в точке

Постоянная функция F(X) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Действительно, F(X) = С = F(А), что соответствует определению непрерывности функ­ции в точке.

Функция F(X) = х непрерывна в каждой точке А числовой прямой, так как предел функции в точке А равен ее значению в этой точке: F(X) = а = F(A).

Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции X2 = X ∙ X, X3 = X2 ∙ Х,..., Xn = Xn-1 ∙ X (N — натуральное число) непрерывны.

Алгебраический многочлен

Также является непрерывной функцией в любой точке число­вой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

Дробно-рациональная функция

Где Р(X) и Q(X) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключени­ем корней знаменателя.

Тригонометрические функции sin X, и cos X непрерывны в любой точке X числовой прямой.

Непрерывность функций tg X = sin X / cos X и sec X = 1/ cos X соблюдается во всех точках, X ≠ π / 2 + Nπ; аналогично непре­рывность функций ctg X = cos X / sin X и sec X = 1 / sin X обеспе­чена во всех точках X ≠ Пπ (N = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точ­ке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного чис­ла арифметических операций, являются также непрерывными.

< Предыдущая		Следующая >