01.2. Вещественные числа и их свойства

Печать

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональ­ным называется число вида P/Q, где Р и Q целые числа. Вся­кое вещественное число, не являющееся рациональным, назы­вается Иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или пери­одическую бесконечную десятичную дробь. Например, рацио­нальное число 1/9 можно представить в виде 0,11111.... Иррациональное число представляет собой бесконечную неперио­дическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

= 1,41421356...; = 3,14159265....

Сведения о вещественных числах могут быть кратко сис­тематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел А и B определены единственным образом два вещественных числа а + B и а ∙ B, Называемые соответственно их Суммой и Произведением. Для любых чисел А, b и С имеют место следующие свойства.

1. A + B = B + а, а ∙ B = B а (переместительное свойство).

2. А + (B + С) = (А + B) + С, А ∙ (BС) = (АB) ∙ С (сочетательное свойство).

3. (А + B) с = АС + B с (распределительное свойство).

4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.

5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а + (-а) = 0.

6. Существует единственное число 1 ≠ 0, Такое, что для любого числа а имеет место равенство

А ∙ 1 = A.

7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а-1, что а ∙ а-1 = 1. Число а-1 обозначается также символом .

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: А = b (А равно B), а > b (А больше B) или А < B (А меньше B). Отношение равенства обладает свойством Транзитивности: если А = B и B = с, то А = С.

Отношение "больше" обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0

Вместо соотношения А > b употребляют также B < а. Запись АB (bА) означает, что либо А = B, либо A > B. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рацио­нальными числами с произвольной точностью.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел И выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется Аксиоматическим, а сами свойства А-С — Аксиомами вещественных чисел.