05.3.4. Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и постро­ения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция F(X) называется Чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

Функция F(X) называется Нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т. е. решить соответственно уравнения У = F(0) и F(X) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [А, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: Х ≠ 0 или Х (-, 0) (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как F(-X) = - F(X).

3. Уравнение F(X) = 0 дает корни Х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел F(X) при Х 0 бесконечен: F(X) + при Х 0-, F(X) - при Х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: У = Х.

5. F'(X) = , т. е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде F'(X) положительна.

6. F"(X) = —2/х3 — критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (F"(X) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (F"(X) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.

< Предыдущая		Следующая >