22.Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых (симметри­ческих) матриц

| Печать |

Теорема (о связи между самосопряженным и нормальным оператором):

Оператор A явл-ся самосопряж. тогда и только тогда, когда: 1) A – норм. оператор; 2) все собств. з-ия явл-ся действ. числами, т. е. .

Доказательство:

Необходимость

Пусть A – самосопряж. оператор, тогда по определению , отсюда можно заметить, что , т. е. A – норм. оператор кроме того по св-ву 2 самосопряж. операторов .

Достаточность

Пусть A – норм. оператор и пусть все его собств. значения - вещественные, т. е. . Тогда в силу спектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве U существует ОНБ из собств-х в-в оператора A:

. Рассмотрим произвольные эл-ты и разложим их по данному в ОНБ: и , тогда . Согласно определению скалярного произведения в данном ОНБ имеем , отсюда получаем, что , т. е. – самосопряж. оператор. #

Спектральная теорема:

1) Пусть A – самосопряж. оператор, действующий в унитарном пространстве . Тогда в пространстве существует ОНБ из собств. в-в оператора A, а все его собств. значения явл-ся едйствительными.

2) Пусть – эрмитова (симметрическая) матрица. Тогда:

1) Все собств. зн-я этой матр. вещественны;

2) Существует унитарная матрица , столбцами которой явл-ся собств. в-ры матрицы A: , такая что

. (В случае вещественных матриц переходит в .)

Доказательство:

Следует из предыдущей и спектральной теоремы для норм. операторов. #