26.Определение невырожденного линейного оператора и его свойства

| Печать |

Как известно (см. § 4 гл. IV) преобразование матрицы линейного оператора A при переходе от базиса (E) к базису (E’) осуществляется по формуле , где T – матрица перехода от (E) к (E’). Отсюда вытекает следствие согласно которому определитель матрицы оператора явл-ся инвариантным, т. е. его значение не меняется при переходе от одного базиса к другому (см. § 4 гл. IV). Следовательно если матрица линейного оператора явля-ся невырожденной (т. е. имеет определитель отличный от нуля) в одном базисе, то матрица данного лин. оператора будет невырожденной и в любом другом базисе.

Определение:

Линейный оператор наз-ся невырожденным, если он задается невырожденной матрицей.

Замечание:

Из определения следует, что любой невырожденный оператор обратим, и наооборот (См. Критерий обратимости линейного оператора, § 3 гл.IV).

Свойства невырожденного оператора:

1. Если A и B – невырожденные операторы, то их произведение AB также является невырожденным оператором.

Доказательство:

Пусть C=AB , тогда в любом базисе имеем для матрицы данных операторов. Поскольку A и BНевырожденные операторы, то det, det det= det= det det. Отсюда С – невырожденный оператор #

2. Если оператор A является невырожденным, то обратный ему оператор также является невырожденным.

Доказательство:

Т. к. , то, например, , отсюда . Так как , то и - невырожденный оператор #

3. Если оператор A явл-ся невырожденным, то сопряженный ему оператор также невырожденный.

Доказательство:

В произвольном ОНБ имеет , отсюда , т. к. , то - невырожденный оператор. #

4. Если оператор A Явл-ся невырожд., то равенство Ax твозможно только при X(на это свойство мы ссылаемся § 5 гл. IV).

Доказательство: Пусть , выбрав произвольный базис запишем однородную СЛАУ , здесь Ae - матрица данного оператора А в базисе (Е), - координатный столбец вектора Х. Поскольку однородная СЛАУ с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда (См. параграф 5 Главы II), а у нас ( в силу невырожденности оператора А) то однородная СЛАУ может иметь только тривиальное решение. #