10.Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

| Печать |

Определение: Вещественное линейное пространство V называется Евклидовым (обозначается Е) если: I. имеется правило согласно которому для любых ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (X,Y).

II. Указанное правило, удовлетворяющее следующим аксиомам .

1)

2)

3)

4) , причем

Определение: Комплексное линейное пространство V называется унитарным (обозначается U), если:

I. имеется правило согласно которому для любых ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением, обозначаемое (X,Y).

II. указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

1) - т. е. сопряженное

2)

3)

4) - вещественное число, такое, что , причем .

Следствие:

1)

2)

Примеры Евклидовых пространств (Е).

1) Множество всех геометрически свободных векторов, если

2) Пространство An, в котором , здесь . Такое пространство часто обозначают как или .

3) В пространстве An можно положить , где квадратичная форма положительно определена.

4) Пространство C[A,B], в котором . Такое пространство обозначают CL2[A,B].

Пример унитарного пространства (U).

Пространство An, в котором , где , где