07.Квадратичные формы в линейном пространстве. Матрица квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису

Пусть A(X,Y) - симметричная билинейная форма в вещественном линейном пространстве.

Определение: Квадратичной формой A(X,X) называется числовая функция одного векторного аргумента X, которая получается из симметричной билинейной формы A(X,Y), если Y=X.

Утверждение:Симметрическая билинейная форма A(X,Y), которая наз-ся полярной к A(X,X).

Доказательство: (Без доказательства).

Определение: Матрицей квадратичной формы A(X,X) называется матрица Ae полярной к ней билинейной A(X,Y), взятой в некотором базисе . Отсюда вытекает, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

Пусть - базис в линейном пространстве V. тогда общий вид квадратичной формы следующий: .

Если в последней сумме выделить слагаемые с I=J и учесть, что , то можно записать . Пример: Дана квадратичная форма .

Записать матрицу квадратичной формы:

половина коэффициента (!). Замечание: Матрица квадратичной формы, как и билинейной, преобразуется по закону:

- матрицы квадратичной формы в базисах (E) и , соответственно.

Определение: Базис(E), в котором матрица Ae квадратичной формы A(X,X) принимает диагональный вид , где называется каноническим; соответствующее представление квадратичной формы: Называется ее каноническим (диагональным) видом. Ранее рассматривался вопрос о диагонализуемости матрицы линейного оператора, теперь обратимся к вопросу о диагонализуемости матрицы квадратичной формы. В частности, рассмотрим вопрос о существовании канонического базиса.

Известно, что при переходе от одного базиса к другому координаты вектора изменяются следующим образом: если , то , где где Т – матрица перехода от (E) к , при этом .

Определение: Преобразование координат называется невырожденным, если .

Тогда каждому преобразованию базиса можно сопоставить невырожденное линейное преобразование координат и наоборот. Поэтому вопрос о существовании канонического базиса можно заменить вопросом о существовании невырожденного линейного преобразования координат.

Заметим также, что если , то . Отсюда видно, что если , то и .

Вывод: суперпозиция невырожденных преобразований координат также является невырожденным преобразованием. Причем матрица результирующего преобразования равна произведению матриц, приводящих к этому результирующему преобразованию.

< Предыдущая		Следующая >