03.09. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Вывод нормального уравнения плоскости во многом повторяет вывод нормального уравнения прямой. Пусть в декартовой системе координат 0xyz для данной плоскости известны единичный нормальный вектор и расстояние р от начала отсчета до плоскости (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Задание плоскости нормальным уравнением.

Координаты единичного вектора совпадают с его проекциями на координатные оси и равны косинусам углов, которые этот вектор образует с осями. Поэтому вектор может быть задан своими координатами в виде:

Где , и  – направляющие косинусы этого единичного вектора; A, B и G – углы, которые он образует, соответственно, с осями x, y и z. Так как , то очевидно соотношение:

Пусть  – произвольная точка плоскости, а радиус-вектор, связанный с ней. Для точек плоскости и только для них выполняется условие:

.

Но

Поэтому равенство

(4.33)

Можно считать нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Его координатная запись имеет вид:

(4.34)

Очевидно, что когда один из направляющих косинусов равен нулю, т. е. угол, образуемый единичным нормальным вектором плоскости с соответствующей осью, равен , данная плоскость ей параллельна. Если какие-либо два направляющих косинуса равны нулю, то данная плоскость параллельна координатной плоскости, образуемой соответствующими координатными осями. При р=0 плоскость проходит через начало координат.

Если даны две плоскости:

То по их единичным нормальным векторам и можно найти угол между ними по формуле:

Плоскости будут параллельны, если векторы равны или противоположны:

.

При этом

; ; .

Или же углы, которые образуют векторы с соответствующими координатными осями, будут отличаться друг от друга на радиан.

Плоскости окажутся взаимно перпендикулярными, если векторы взаимно перпендикулярны:

Или

При

Обе плоскости окажутся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Рассмотрим связь между общим уравнением плоскости

И ее нормальным уравнением

.

Очевидно, что переход от второго уравнения к первому не вызывает трудностей. Уравнение

Можно считать общим уравнением плоскости, полагая, что

Чтобы из первого уравнения получить второе, умножим обе его части на нормирующий множитель

Его знак выбираем так, чтобы величина была неотрицательна.

 

< Предыдущая		Следующая >