Линейная алгебра 02
Содержание 1 части контрольной работы по «Линейной алгебре»
Задание 1.
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Потребное количество единиц каждого вида сырья на изготовление единицы продукции каждого вида продукции даны в таблицах 1 и 2. Составить экономико-математическую модель задачи [составить систему алгебраических уравнений]. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья [полученную систему решить: 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса].
Таблица 1
|
Вид Сырья |
Нормы расхода сырья на изготовление Одной единицы продукции, усл. ед. |
Запасы Сырья | ||
|
P1 |
P2 |
P3 | ||
|
S1 |
А1 |
А2 |
А3 |
B1 |
|
S2 |
А4 |
А5 |
А6 |
B2 |
|
S3 |
А7 |
А8 |
А9 |
B3 |
Заполним таблицу данными варианта 1
|
Вид Сырья |
Нормы расхода сырья на изготовление Одной единицы продукции, усл. ед. |
Запасы Сырья | ||
|
P1 |
P2 |
P3 | ||
|
S1 |
4 |
2 |
8 |
18 |
|
S2 |
2 |
3 |
16 |
27 |
|
S3 |
12 |
5 |
0 |
27 |
Составим математическую модель данной задачи:
Обозначим через х1 – количество продукции Р1, через х2 – количество продукции Р2, через х3 – количество продукции Р3, которые будут выпускаться предприятием.
Тогда 4х1+2х2+8х3 - количество сырья S1, которое будет израсходовано при таком плане производства изделий. Так как запасы сырья S1 равны 18, то имеем первое уравнение системы:
4х1+2х2+8х3=18
Аналогично запишем уравнения используя ограничения на запасы сырья S2, S3:
2х1+3х2+16х3=27
12х1+5х2=27
Окончательно, получили систему линейных уравнений:
Полученную систему решим:
1) методом Крамера,
Запишем систему в виде: , BT = (18,27,27)
Главный определитель:
∆ = 4 • (3 • 0-5 • 16)-2 • (2 • 0-5 • 8)+12 • (2 • 16-3 • 8) = -144
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
18 |
2 |
8 |
|
27 |
3 |
16 |
|
27 |
5 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 18 • (3 • 0-5 • 16)-27 • (2 • 0-5 • 8)+27 • (2 • 16-3 • 8) = -144
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
4 |
18 |
8 |
|
2 |
27 |
16 |
|
12 |
27 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 4 • (27 • 0-27 • 16)-2 • (18 • 0-27 • 8)+12 • (18 • 16-27 • 8) = -432
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
4 |
2 |
18 |
|
2 |
3 |
27 |
|
12 |
5 |
27 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 4 • (3 • 27-5 • 27)-2 • (2 • 27-5 • 18)+12 • (2 • 27-3 • 18) = -144
Выпишем отдельно найденные переменные Х
X1=1, x2=3, x3=1 .
2) матричным методом,
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(18,27,27)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=4•(3•0-5•16)-2•(2•0-5•8)+12•(2•16-3•8)=-144
Итак, определитель -144 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(3•0-16•5)=-80
∆1,2=-(2•0-8•5)=40
∆1,3=(2•16-8•3)=8
∆2,1=-(2•0-16•12)=192
∆2,2=(4•0-8•12)=-96
∆2,3=-(4•16-8•2)=-48
∆3,1=(2•5-3•12)=-26
∆3,2=-(4•5-2•12)=4
∆3,3=(4•3-2•2)=8
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X X=A-1 • B
, ,
, XT=(1,3,1)
X1=-144 / -144=1
X2=-432 / -144=3
X3=-144 / -144=1
3) методом Гаусса
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 4 = -1/2) и добавим к 3-ой:
|
12 |
5 |
0 |
27 |
|
4 |
2 |
8 |
18 |
|
0 |
2 |
12 |
18 |
Умножим 1-ую строку на (k = -4 / 12 = -1/3) и добавим к 2-ой:
|
12 |
5 |
0 |
27 |
|
0 |
1/3 |
8 |
9 |
|
0 |
2 |
12 |
18 |
Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 1/3 = -6) и добавим к 3-ой:
|
12 |
5 |
0 |
27 |
|
0 |
1/3 |
8 |
9 |
|
0 |
0 |
-36 |
-36 |
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Теперь исходную систему можно записать как:
X1 = 9/4 - (5/12x2)
X2 = 27 - (24x3)
X3 = 1
Из 3-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 1-ой строки выражаем x1
Ответ: Будет выпускаться 1 ед. продукции Р1, 3 ед. продукции Р2, 1 ед. продукции Р3
Задание 2.
Задача. Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат и вектором конечной продукции Y:
, 
.
Найти коэффициенты полных затрат; плановые объемы валовой продукции 
; величину межотраслевых потоков (т. е. значения 
), матрицу косвенных затрат; определить чистую продукцию каждой отрасли. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса 1. Расчеты рекомендуется производить с точностью до трех знаков после запятой.
Решение
Запишем условие согласно данных варианта m=4; n=2
, 
.
Найдем матрицу (Е-А):
.
Для определения матрицы полных затрат найдем матрицу обратную К.
Запишем матрицу в виде:
Главный определитель
∆=0.8•(0.7•0.8-(-0.1•(-0.2)))-0•(-0.4•0.8-(-0.1•(-0.1)))+(-0.4•(-0.4•(-0.2)-0.7•(-0.1)))=0.372
Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:
Где Aij - алгебраические дополнения.
Найдем Алгебраические дополнения.
∆1,1=(0.7•0.8-(-0.2•(-0.1)))=0.54
∆1,2=-(-0.4•0.8-(-0.1•(-0.1)))=0.33
∆1,3=(-0.4•(-0.2)-(-0.1•0.7))=0.15
∆2,1=-(0•0.8-(-0.2•(-0.4)))=0.08
∆2,2=(0.8•0.8-(-0.1•(-0.4)))=0.6
∆2,3=-(0.8•(-0.2)-(-0.1•0))=0.16
∆3,1=(0•(-0.1)-0.7•(-0.4))=0.28
∆3,2=-(0.8•(-0.1)-(-0.4•(-0.4)))=0.24
∆3,3=(0.8•0.7-(-0.4•0))=0.56
Обратная матрица. ,
Получаем обратную матрицу(она является матрицей полных затрат):
.
Находим объем производства отраслей (валовая продукция):
Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции равны: 
.
Для составления баланса рассчитываем межотраслевые потоки средств производства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
.Результаты вычислений представим в форме межотраслевого баланса (таблица 1).
Величина чистой продукции определяется здесь как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце.
Таблица 1.
|
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
Конечная Продукция |
Валовая Продукция | ||
|
1 |
2 |
3 | |||
|
1 |
478.6 |
957.2 |
239.3 |
1000 |
2393 |
|
2 |
0 |
507.3 |
338.2 |
700 |
1691 |
|
3 |
965.2 |
241.3 |
482.6 |
800 |
2413 |
|
Чистая продукция |
949.2 |
-14.8 |
1352.9 |
- |
- |
|
Валовая продукция |
2393 |
1691 |
2413 |
- |
6497 |
Найдем матрицу косвенных затрат:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|