Контрольная работа по мат. анализу 38
Задача 2
Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
Уравнения линий
Сделаем чертёж
Считаем плотность однородной пластины Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами: , а координаты ее центра тяжести определяются формулами: , где - масса однородной пластины D с плотностью Применяя эти
Формулы, получаем:
Тогда ,
Ответ: ,
Задача 4
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
Сделать чертеж.
Изобразим данное тело
Проекция тела на плоскость хОу:
По формуле . Тогда Ответ:
Задача 5
Требуется:
1) найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (выбирается внешняя нормаль к );
2) вычислить циркуляцию векторного поля по контуру L, образованному пересечением поверхностей и (направление обхода выбирается так, чтобы область, ограниченная контуром L находилась слева);
3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Гаусса и Стокса;
4) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью ;
5) сделать чертеж поверхности .
Векторное поле |
Поверхности |
Решение
Сделаем чертёж данной поверхности
Поток векторного поля через замкнутую поверхность (выбирается внешняя нормаль к );
Поверхность состоит из двух поверхностей: — части плоскости и — части конуса . Поэтому поток через равен сумме потоков вектора через составляющие поверхности:
Где и — внешние нормали к конусу и плоскости соответственно.
,
так как на поверхности имеем .
Тогда
Проверим правильность вычисленных значений потока с помощью формулы Гаусса
Т. к. div a = 4, то внутри области имеются источники, плотность которых если принять ее непрерывной, равна 4
Найдём циркуляцию
Пересечением указанных поверхностей является окружность . Направление обхода контура выбирается обычно так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура :
Причем параметр изменяется от до .
Применим теперь формулу Стокса. В качестве поверхности , Натянутой на контур , можно взять часть плоскости . Направление нормали к этой поверхности согласуется с направлением обхода контура . Ротор данного векторного поля
Поэтому искомая циркуляция
Что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.
Задача 6
Исследовать сходимость числовых рядов .
Общий член ряда а) ; б) ; в) ; г)
Решение
А) Используем 2й признак сравнения:
Так как ряд расходится как гармонический. Следовательно, данный ряд расходится.
Б) ; При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится - используем 2й признак сравнения:
,
Так как ряд сходится как обобщенный гармонический - следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится, а значит сходится и ряд .
В) . Воспользуемся радикальным признаком Коши: ,
Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.
Г) . Исследуем ряд на абсолютную сходимость: ;
Используем первый признак сравнения .
Так как ряд расходится как гармонический ряд, то ряд не сходится абсолютно.
По признаку Лейбница данный ряд сходится условно, так как общий член ряда монотонно убывает и стремится к 0.
Следовательно, данный ряд сходится условно
Задача №8
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования полученного ряда.
Функция F(X), B: ; 1
Решение
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
,
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
< Предыдущая | Следующая > |
---|