Математический анализ (8 задач)
Задача 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
в замкнутой области 
, заданной системой неравенств.
Построим область :
Ищем стационарные точки:
Данная точка лежит на границе области D,
Значение функции в ней:
.
На границе области:
1) 
:
2) 
:
3) 
:
Итак, наибольшее значение 0; наименьшее -0,375.
Задача 2. В повторном интеграле 
изменить порядок интегрирования.
Построим данную область:
Тогда
.
Задача 3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси ОY. При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.
.
Решение:
,
Где 
– четверть окружности, соответствующая углу АВС. Тогда
Задача 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела 
, заданного неравенствами
.
Решение:
Тело представляет собой часть конуса внутри эллиптического параболоида.
Проекцией на плоскость хОу будет окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Тогда
Задача 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля 
, задаваемого векторным произведением 
, если
.
Решение:
Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл
По замкнутому контуру L: 
, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.
Решение:
Построим контур L:
По формуле Грина:
Задача 3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограничивающую указанное тело G, в направлении внешней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непосредственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.
;
Решение:
Тело ограничено двумя поверхностями: параболоидом и конусом.
Непосредственно:
Вектор нормали к параболоиду:
Поток относительно конуса:
Вектор нормали к параболоиду:
Общий поток:
По формуле Гаусса–Остроградского:
Результаты совпали.
Задача 4. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру, ограничивающему указанную поверхность 
. Задачу решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный интеграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура выбрать произвольно.
;
Решение:
По формуле Стокса:
Непосредственно:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|