Дифференциальные уравнения (4 примера)
8. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду:
Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем: Следовательно:
Возвращаясь к старой переменной , получим: .
Ответ:
38. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду:
Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем: Следовательно:
Возвращаясь к старой переменной , получим: или
Ответ:
68. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
, ,
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение имеет корни , . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда ,
Подставим в исходное:
, .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда , .
Частное решение имеет вид:
Общее решение будет иметь вид:
Так как по условию , то ,
Так как по условию , а то ,
Решим систему:
Получим:
Окончательно:
Ответ:
78. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
, ,
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение имеет корни , . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Уравнение имеет вид
Найдём частное решение для правой части
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда ,
Подставим в исходное:
,. Следовательно:
Частное решение имеет вид:
Найдём частное решение для правой части
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда ,
Подставим в исходное:
,.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда , .
Частное решение имеет вид:
Общее решение будет иметь вид:
Так как по условию , то ,
Так как по условию , а то ,
Решим систему:
Получим:
Окончательно:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|