Контрольная работа по мат. анализу 10
1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:
А) ;
Б) ; в) .
A)
Б)
В)
2. Найти дифференциалы первого и второго порядка от функции .
Воспользуемся следующими соотношениями для дважды дифференцируемых функций:
Таким образом,
Тогда получим
3. Вычислить определенные интегралы:
А) ; б); в); г).
Решение
А) Б);
В);
Г).
4. Вычислить или установить расходимость несобственных интегралов:
А) ; б) .
Решение
а) Данный интеграл – несобственный интеграл первого рода
;
Расходится
б) Данный интеграл – несобственный интеграл второго рода
.
5. Найти площадь области, ограниченной кривыми:
А) ; б) .
Решение
А) Построим линии, ограничивающие фигуру.
– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).
– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).
– прямая, проходящая через точку (0;2), параллельная оси очх.
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
Данная область состоит из двух симметричных частей. Будем искать площадь фигуры при
По формуле . В нашем случае , , .
Получим кв. ед.
Б)Построим линии, ограничивающие фигуру
- часть окружности
, - часть кардиоиды
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
Если функция непрерывна на отрезке , то площадь области вычисляется по формуле : .
В нашем случае: , ,
Получим:
6. Найти длину дуги кривой
Решение
Изобразим данную дугу
Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , в которых функции Имеют непрерывные производные, то
.
Найдём: ,
Тогда
Ответ:
7. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу Плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение
Построим ограничивающие линии.
- парабола, вершина т. (0,1), ветви вниз
- окружность, центр т. (0,0), радиус R=1;
Изобразим фигуру вращения:
При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси OY образуется тело вращения.
Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси OY, то объём тела вращения вычислим по формуле .
По условию , . При этом , т. е.
Тогда
(ед3.)
< Предыдущая | Следующая > |
---|