Дифференциальное исчисление
Строим график функции
Строим график функции - сжатие графика в раза по оси оХ
Строим график функции - перенос влево на 1
Строим график функции - сжатие графика в раза по оси оУ
А)
Б) В)
Использовали: при
Г)
Использовали второй замечательный предел:.
Решение
Найдем левый и правый пределы в точке .
Правый предел конечен и равен 0, а левый предел бесконечен. Следовательно, по определению точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке .
, т. е. точка непрерывности функции .
Сделаем схематический чертеж.
Решение
Функция непрерывна для , функция непрерывна в каждой точке из , функция непрерывна в каждой точке интервала .
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки и , где функция меняет свое аналитическое выражение.
Исследуем точку .
, , .
Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва равна .
Исследуем точку .
, , . Таким образом, точка есть точка непрерывности функции .
Сделаем схематический чертеж
Решение
А)
Б)
В)
Г)
Прологарифмируем заданную функцию и найдём производные от левой и правой частей:
Тогда
Д)
Здесь функция задана неявным образом. Дифференцируем обе части равенства по ,
Выразим из этого выражения : .
Откуда .
Решение
А)
Б) Найдем ; .
Следовательно, .
Вторая производная
Решение
Ответ:
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: на интервале
Область определения: множество всех действительных чисел
Найдём производную заданной функции:
==
Первая производная:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, ,
;
Случай. х=0.
Случай., х=-1, х=1.
Критические точки: х=-1, х=0, х=1
В интервал попадает только две критические точки:
Найдём значение функции в критических точках и на концах интервала .
, ,
Получили ,
Решение
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения: множество всех действительных чисел
Найдём первую производную:
===
====
Первая производная:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. , х=0
Критические точки: х=0
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
===
====
===
Вторая производная:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, , , .
Возможные точки перегиба:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , , .
Точки пересечения с осью х: х=-1, х=1
Точки пересечения с осью у: у=-1. Пусть х=0,
Вертикальные асимптоты: нет. Наклонные асимптоты: нет.
Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение. ==
Горизонтальные асимптоты: у=1 .
Предел данной функции на бесконечности равен числу 1.
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси.
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
====
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции:
Наименьшее значение:
Наибольшее значение: нет
< Предыдущая | Следующая > |
---|