Частные производные, экстремумы функций
1) Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные)
Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:
.
Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:
.
2) Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом
Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим
;
,
,
; .
Подставляя в формулу , найдем
.
Ответ:
3) Исследовать на максимум и минимум следующую функцию ,
Решение
Найдем частные производные и :
,
.
Решим систему уравнений Которая в данном случае примет вид:
Решения и не удовлетворяют условию
Получили точку возможного экстремума:
Определим частные производные второго порядка:
, , .
Найдем значение в точке :
, , .
Тогда . и функция в точке имеет экстремум.
Так как , то в точке функция имеет минимум и .
Ответ: т. - точка минимума,
4) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ,
Решение
Функция непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.
Найдём все решения системы уравнений:
Имеем
Все решения находятся в области
Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:
На границе области
А) . Отсюда
Б) . Отсюда ,
С) . Отсюда
D) . Отсюда ,
Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .
Выберем наибольшее и наименьшее значения:
,
5) Найти условные экстремумы функции при
Решение
Составим функцию Лагранжа
Имеем
Система имеет единственное решение
Далее
Найдём дифференциал второго порядка в точке :
Тогда
Из уравнения ограничения
При поэтому функция в точке имеет условный минимум,
Ответ: в точке имеет условный минимум,
< Предыдущая | Следующая > |
---|