Теория вероятности и математическая статистика 01
Контрольные задания
І. Теория вероятностей.
1А. Определение сложных событий.
Задача 1.3. Техническое устройство состоит из трех последовательно и двух параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства.
Введем обозначения:
Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён)
Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён)
Событие C – блок 3 исправен (последовательно соединён)
Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён)
Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён)
Событие G - техническое устройство исправно.
Так как параллельному соединению соответствует сумма событий, а последовательному соединению — произведение событий.
Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом:
G= A* B* C*( D+ E)
2А. Способы определения вероятностей.
Задача 2.3. В барабане револьвера семь гнезд, из них в шести заложены патроны, а один оставлен пустым. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Определить вероятность того, что выстрел произойдет.
В нашем случае элементарным исходом является появление одного из гнезд против ствола.
N=7 (количество гнёзд в барабане) - количество всех элементарных исходов.
Итак, все элементарные исходы равновозможны, следовательно, эксперимент, описанный в задаче, удовлетворяет классическому определению вероятности.
- против ствола случайным образом оказывается одно из шести гнезд, в которые заложены патроны.
- количество всех благоприятствующих исходов.
- искомая вероятность.
Ответ: 
3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Задача 3.3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Определить вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие 
), при втором – черный (событие 
) и при третьем – синий (событие 
).
Решение
Вероятность появления белого шара в первом испытании 
(всего в урне 5+4+3=12 шаров, из них белых 5 штук – по классическому определению вероятности).
Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность 
.
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность 
.
Искомая вероятность
Ответ: 
5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.
Задача 5.3. По баскетбольному кольцу производится два независимых друг от друга броска. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. Составить ряд распределения и найти дисперсию 
числа попаданий в кольцо при двух бросках.
Решение
Случайная величина Х – число попаданий мячом в кольцо при двух бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2. Найдём соответствующие вероятности:
При х=0 – два промаха. Вероятность промаха при первом броске 1-0,4=0,6, при втором броске 1-0,6=0,4. По теореме умножения вероятностей независимых событий: 
При х=2 – оба попадания. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. По теореме умножения вероятностей независимых событий: 
При х=1 – одно попадание и один промах. Так как события один промах одно попадание, оба промаха и оба попадания образуют полную группу событий то искомую вероятность найдём по формуле:
Получили ряд распределения
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
|
Pi |
0,24 |
0,52 |
0,24 |
Дисперсию найдём по формуле 
, тогда
Получим 
Ответ: 
6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.
Задача 6.3. Случайная величина 
имеет плотность распределения
.
Определить постоянное число «с», математическое ожидание 
и дисперсию
случайной величины .
Решение
Для определения значения C воспользуемся условием 
. Вычислим интеграл 
,
Плотность распределения случайной величины Х примет вид
Математическое ожидание находим по формуле 
:
Дисперсию найдем по формуле 
:
,
Тогда 
.
Контрольные задания
ІІ. Математическая статистика
13А. Выборочный метод математической статистики
Пример 13.3. Построить полигон и гистограмму относительных частот по данному распределению
|
Ij |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
11-13 |
|
Nj |
10 |
20 |
50 |
12 |
8 |
Решение
Объем выборки 
, длина интервала 
. Для построения гистограммы относительных частот дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки 
каждого интервала, строкой относительных частот 
, строкой накопленных относительных частот 
и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот 
.
|
Группы |
Xi |
Кол-во, |
|
|
|
|
3-5 |
4 |
10 |
0.1 |
0.1 |
0.05 |
|
5-7 |
6 |
20 |
0.2 |
0.3 |
0.1 |
|
7-9 |
8 |
50 |
0.5 |
0.8 |
0.25 |
|
9-11 |
10 |
12 |
0.12 |
0.92 |
0.06 |
|
11-13 |
12 |
8 |
0.08 |
1 |
0.04 |
|
100 |
Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в 6 столбце таблицы.
График гистограммы изображен на рис.
Строим полигон:
 |
14А. Статистические оценки параметров распределения.
14.1.Точечные оценки параметров распределения
Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:
|
№№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Ti[час] |
23 |
101 |
89 |
62 |
108 |
154 |
136 |
493 |
104 |
128 |
82 |
49 |
Найти оценку математического ожидания 
и дисперсии
Решение
1.Для оценки математического ожидания используем формулу
В нашем случае 
2. Оценку для дисперсии проведём:
А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].
Используем формулу 
В нашем случае: 
б) когда неизвестно математическое ожидание .
В этом случае используем статистическое математическое ожидание
и формулу 
В нашем случае:
14.2. Интервальная оценка параметров распределения
Определить доверительный интервал
.
Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал 
для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины 
, если по результатам N =103 измерений получены оценки 
Решение
Используем формулу для доверительного интервала
Значение табличной функции
положим 
В нашем случае 
Тогда 
Определить доверительный интервал 
.
Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал 
для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N =103 измерений.
Решение
Оценку для дисперсии проведём:
А) когда известно математическое ожидание и
Используем формулу 
Значение табличной функции 
положим 
В нашем случае
Тогда 
Б) когда неизвестно математическое ожидание и
Используем формулу 
В нашем случае 
Тогда 
16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки
Примеры 1.10. Дана выборка объёма 
, заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.
Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии 
. Построить график линии регрессии относительно точек 
таблицы. Найти остаточную дисперсию.
таблица №3
|
Х |
-1.0 |
-0.75 |
-0.5 |
-0.25 |
0 |
|
У |
2.08 |
1.83 |
1.57 |
1.13 |
0.89 |
Решение
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
A•n + b∑x = ∑y
A∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
5a + -2.5 b = 7.5
-2.5 a + 1.88 b = -4.52
Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
Y = -1.232 x + 0.884
Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу
|
X |
Y |
X2 |
Y2 |
X • y |
|
-1 |
2.08 |
1 |
4.33 |
-2.08 |
|
-0.75 |
1.83 |
0.56 |
3.35 |
-1.37 |
|
-0.5 |
1.57 |
0.25 |
2.46 |
-0.79 |
|
-0.25 |
1.13 |
0.0625 |
1.28 |
-0.28 |
|
0 |
0.89 |
0 |
0.79 |
0 |
|
-2.5 |
7.5 |
1.88 |
12.21 |
-4.52 |
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Ковариация. (корреляционный момент)
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и обратная.
1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -1.23 x + 0.88
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу
|
x |
Y |
Y(x) |
(y-y(x))2 |
|
-1 |
2.08 |
2.12 |
0.0013 |
|
-0.75 |
1.83 |
1.81 |
0.000484 |
|
-0.5 |
1.57 |
1.5 |
0.0049 |
|
-0.25 |
1.13 |
1.19 |
0.00384 |
|
0 |
0.89 |
0.88 |
0,000036 |
|
-2.5 |
7.5 |
7.5 |
0.0106 |
Остаточная дисперсия 
В нашем случае 
Построим график линии регрессии относительно точек таблицы.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|