Контрольная работа по мат. анализу 12

Задания для контрольной работы № 3

141-150. Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Используем начальное условие , тогда .

Тогда, окончательно,

Ответ:

151-160. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

- интеграл «не берётся» - скорее всего опечатка в условии

161-170. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

Решение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и кратны (), общее решение исходного уравнения имеет вид .

171-180. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное ,

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

181-190. Для данного числового ряда: а) вычислить частичные суммы , , ; б) записать n-ю частичную сумму ; в) исследовать ряд на сходимость, пользуясь определением сходящегося ряда.

Решение

Найдём частичные суммы данного ряда , , .

Вычислим n-ю частичную сумму ряда .

Используя формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии, у которой первый член равен , а знаменатель , можно записать .

Найдём предел частичных сумм .

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна .

191-200. Найти интервал сходимости ряда.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится на интервале (0;6) абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=6 получим ряд , данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

При х=0 получим ряд - данный ряд расходится, аналогично предыдущему. Имеем интервал абсолютной сходимости ряда:

Ответ:

201-210. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Решение

Заменим функцию ее степенным рядом, тогда

Получим

Почленно интегрируя, находим:

Так как , то для получения нужной точности достаточно взять первый член ряда: .

Ответ:

211-220. Для дифференциального уравнения с заданными начальными условиями записать приближенное решение в виде сумы первых четырёх отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение

Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:

(1)

Непосредственно из уравнения найдем: .

Дифференцируя последовательно обе части уравнения получим

И полагая X=0 в полученных равенствах, будем иметь:

Подставляя в ряд (1) найденные значения получим:

Ответ:

Задания для контрольной работы № 4

221-230. Найти область определения функции. Изобразить решение на координатной плоскости.

Решение

Функция определена при

Чтобы определить, какую часть плоскости заштриховать, необходимо взять координаты любой точки, не лежащей на границе, подставить в исходное неравенство. Если получено верное неравенство, то штрихуется та часть плоскости, в которой находилась произвольная точка. Если при подстановке получено неверное неравенство, то штрихуется та часть плоскости, которая лежит по другую сторону от границы.

Изобразим решение на координатной плоскости: