Контрольная работа по мат. анализу 21

Контрольная работа по математике

Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки U : (1)

Найдем Одну из функций V, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (1).

Т. к. Y = Uv, то - общее решение данного уравнения.

Ответ:

Задание 2. Найти частное решение уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка и удовлетворяющее указанным начальным условиям.

13. ,

Решение

Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее Х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки .

После применения подстановки получим уравнение: , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

Так как и , то . Тогда имеем

Так как , то - это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:

Так как , то .

Окончательно,

Ответ:

Задание 3. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указаным начальным условиям.

23. ,

Решение

Правая часть ЛНДУ с постоянными коэффициентами является многочленом первой степени . Найдем сначала У оо - общее решение соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение: Þ , следовательно,

Будем искать Учн в виде многочлена первой степени с неопределенными коэффициентами, если ноль является корнем характеристического уравнения кратности R. . Но так как K = 0 является корнем характеристического уравнения, то R=1, и тогда окончательно .

Поскольку У чн - решение данного уравнения, то при подстановке У чн в это уравнение вместо У получим тождество. Предварительно найдем и . ;

Подставим , , в данное уравнение:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:

Таким образом, .

Тогда имеем : .

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , найдем :

Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

Подставив найденные С1 и С2, получим: .

Ответ:

Задание 4. Исследовать сходимость ряда.

33.

Решение

Здесь , .

По признаку Даламбера ряд сходится, поскольку

Ответ: сходится.

Задание 5. Дан степенной ряд . Найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b, k даны:

43.

Решение

Имеем ряд .

Имеем : un= ; un+1=

Радиус сходимости R находим по формуле : R=

Тогда R=

Следовательно, на основании теоремы Абеля, исходный ряд абсолютно сходится в интервале или . Исследуем сходимость ряда на концах интервала ходимости.

Пусть x= . Тогда получим ряд : . Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. В самом деле, ; , т. е. члены ряда убывают по абсолютной величине. Следовательно, при x= ряд сходится условно.

Пусть x= . Тогда, получим ряд : – ряд Дирихле при он расходится.

Итак, заданный ряд сходится в области абсолютно, при x= ряд сходится условно.

Задание 6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другогою Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

Решение

Для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

– среднее число появлений события в n испытаниях.

По условию дано: .

Искомая вероятность

Ответ:

Задание 7. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Найти: 1) математическое ожидание М(х); 2) дисперсию Д(х); 3) среднее квадратическое отклонение:

Х	24	26	28	30
Р	0,2	0,2	0,5	0,1

Решение

Найдем числовые характеристики случайной величины:

1) М(Х)= = x1р1 + x2р2+…+ xnрn

M(X)=24•0,2+26•0,2+28•0,5+30•0,1=4,8+5,2+14+3=27

2) D(X)= = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

D(X)=242 •0,2+262•0,2+282•0,5+302•0,1-272=115,2+135,2+392+90-729=3,4

< Предыдущая		Следующая >