Контрольная работа по мат. анализу 13

Контрольная работа №2

Раздел 4.

Пример 4.1. Найти область определения функции D(f)

Решение. Если числовая функция задана аналитически (в виде формулы ) и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 4.2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

2. 3.

6. ;

Пример 4.3. Найти область определения функции

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

Следовательно, .

Пример 4.4. Определить, являются ли функции

1. ;

2. ;

3. ;

Четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т. е. если , то и ;

2. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

1. ,

То функция - нечетная;

2. ,

То функция является четной;

3. ,

Следовательно, функция нечетная;

4. ,

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 4.5. Найти период функции

Решение. При решении задач на нахождение периода функции следует использовать следующее.

Функция является периодической, если существует такое число Т¹0, GB> ?@8 ;N1>< X из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство .

В этом случае Т есть период функции .

Так как , то период Т=1.

Пример 4. 6. Доказать, что

Решение. Зададим произвольное и покажем, что существует положительное такое, что из неравенства вытекает неравенство .

Действительно,

Значит, если положить , то выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства . Таким образом, согласно определению, заключаем, что

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.

Теорема. Если при существуют пределы функций и , то:

;

, где ;

, где - постоянный множитель.

Пример 4.7. Вычислить

Решение. Так как

, а ,

То по теореме о пределе частного получаем, что

Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень X.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 4. 8. Вычислить

Решение. Наивысшая степень X - вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

, так как и .

Пример 4.9. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

Пример 4. 10. Вычислить

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

Пример 4.11. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

Пример 4.12. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень X - первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на X, получим

Пример 4.13. Вычислить

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

Пример 4.14. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.

Если

Естественно, что на интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

Вычислим односторонние пределы

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Рис. 2

Пример 4.15. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

. Точка разрыва .

Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 3.

Рис. 3

Раздел 5.

Пример 5.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

Решение.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

- сложная функция.

, где , а ,

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра T). Производная от по определяется формулой

Находим производные от и по параметру T:

Пример 5.2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

Подставляя значения в уравнение, получим

или .

Уравнение нормали

или .

Пример 5.3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение движения в любой момент времени T

;

При

Пример 5.4. Найти дифференциалы функций

1. ;

2. , вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

Полагая и , получим .

Пример 5.5. Вычислить приближенное значение:

1.;

2. .

Решение. Если требуется вычислить и если проще вычислить и , то при достаточно малой по абсолютному значению разности можно заменить приращение функции ее дифференциалом и отсюда приближенное значение искомой величины по формуле

1. Будем рассматривать как частное значение функции при . Пусть , тогда

Подставляя в формулу, получим

, .

Получим

Пример 5.6. Найти пределы используя правило Лопиталя

1.;

2. ;

3. ;

4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1. ;

;

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

;

4. .

Раздел 6.

Пример 6.1. Исследовать функцию и построить её график.

1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при X = 0, Y= -2, т. е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: . Вычислим пределы функции при слева и справа.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

- точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

Рис. 4.

Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 4).

; .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Точек перегиба нет, так как .

Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 5а).

Рис. 5а.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.

< Предыдущая		Следующая >