Контрольная работа по мат. анализу 19

Контрольная работа №3

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды, пользуясь известными признаками сходимости.

1.  14 а) б)

Решение

А)

Используем признак Даламбера , .

Тогда

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Б)

Используем радикальный признак Коши

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Задание 2. Найти область сходимости степенного ряда.

2.  14

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Ряд расходится при .

Задание 3. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определённый интеграл с точностью до

3.  14

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

, при

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Задание 4. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской области D, ограниченной заранными линиями.

4.  14

Решение

Изобразим область, площадь которой нужно найти.

Так как данная область не ограничена, то её площадь равна бесконечности.

Задание 5. Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями.

5.  14

Решение

Изобразим поверхность, объём которой нужно найти.

Тело ограничено плоскостями - снизу и - сверху, цилиндром - по бокам.

Объём тела в декартовой системе координат определяется по формуле ,

Перейдём к цилиндрическим координатам , тогда

где . Тогда

Ответ: (куб. ед.)

Задание 6. Найти массу, где - плотность.

6.  14 Правого лепестка лемнискаты , если

Решение

Изобразим фигуру, массу которой нужно найти

Масса тела в декартовой системе координат определяется по формуле

В нашем случае

< Предыдущая		Следующая >