Ряды (4 задания)
2. Найти области сходимости степенных рядов
Найдём интервал сходимости ряда ,
Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-2;2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=2 ряд примет вид , данный ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости рядаов
При х=-2 ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.
Значит степенной ряд имеет интервал сходимости:
Найдём интервал сходимости ряда Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-4;-2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=-4 ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:
Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд сходится (Так как ряд Дирихле сходится при р>1), то ряд тоже сходится абсолютно.
При х=-2 ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд сходится.
Значит степенной ряд имеет интервал сходимости:
3. Вычислить приближённое значение интеграла с точностью до 0,001 разлогая подынтегральную функцию в ряд Тейлора.
Решение
Приведём интеграл к виду
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
, при
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
4. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора дифференциальное уравнение. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения. ,
Решение
Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
(1)
Непосредственно из уравнения найдем: .
Дифференцируя последовательно обе части уравнения получим
И полагая X=0 в полученных равенствах, будем иметь:
Подставляя в ряд (1) найденные значения получим: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|