Решения игр в смешанных стратегиях

Если матричная игра содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса. Если же платежная матрица не имеет седловых точек, то применение минимаксных стратегий каждым из игроков показывает, что игрок I обеспечит себе выигрыш не меньше a, а игрок II обеспечит себе проигрыш не больше b. Так как a < b, то игрок I стремится увеличить выигрыш, а игрок II уменьшить проигрыш. Если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, то игроки будут многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью. Такая стратегия в теории игр называется смешанной стратегией. Смешанная стратегия игрока — это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Для применения смешанных стратегий должны быть следующие условия:

1) в игре отсутствует седловая точка;

2) игроками используется случайная смесь чистых стратегий с соответствующими вероятностями;

3) игра многократно повторяется в одних и тех же условиях;

4) при каждом из ходов один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

5) допускается осреднение результатов игр.

Основная теорема теории игр Дж. фон Неймана: Любая парная конечная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно среди смешанных стратегий.

Отсюда следует, что каждая конечная игра имеет цену, которую обозначим через g, средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющий условию a £ g £ b. Каждый игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему невыгодно.

Чистые стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях называются Активными.

Теорема об активных стратегиях. Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш (или минимальный средний проигрыш), равный цене игры G, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий.

Смешанные стратегии игроков S1 и S2 обозначим соответственно A1 , A2 , … Am и B1 , B2 , B3 … Bn, а вероятности их использования через pA = (p1, p2, ..., pm) и qB = (q1, q2, ..., qn), где pi ³ 0, qj ³ 0, при этом .

Тогда смешанная стратегия игрока I — SI, состоящая из стратегий A1, A2, ..., Am, имеет вид:

.

Соответственно для игрока II:

.

Зная матрицу А для игрока I можно определить средний выигрыш (математическое ожидание) :

,

Игрок I, применяя свои смешанные стратегии, стремится увеличить свой средний выигрыш, достигая

.

Игрок II добивается:

.

Обозначим через и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков I и II, при которых выполняется равенство:

.

При этом выполняется условие:

Решить игру — это означает найти цену игры и оптимальные стратегии.

Рассмотрим наиболее простой случай конечной игры 2 ´ 2 без седловой точки с матрицами:

,

С платежной матрицей

.

Требуется найти оптимальные смешанные стратегии игроков , и цену игры g.

Каковы бы ни были действия противника, выигрыш будет равен цене игры g. Это означает, что если игрок I придерживается своей оптимальной стратегии , то игроку II нет смысла отступать от своей оптимальной стратегии .

В игре 2 ´ 2, не имеющей седловой точки, обе стратегии являются активными.

Для игрока I имеем систему уравнений:

Для игрока II аналогично:

Если g ¹ 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы не равен нулю, следовательно, эти системы имеют единственное решение.

Решая систему уравнений (10) и (11) находим оптимальные ешения, и g:

Пример: Дана платежная матрица:

Найти решение.

Решение. Так как a = 3, b = 5, то a ¹ b, то и матрица игра не имеет седловой точки. Следовательно, решение ищем в смешанных стратегиях. Запишем системы уравнений:

Для игрока I:

Для игрока II:

Решив эти системы находим:

Следовательно оптимальные стратегии игроков имеют вид:

,

< Предыдущая		Следующая >