Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a<1 и расходится при a³1.

Пример 3 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Сходимость первого интеграла I1 исследуем с помощью эквивалентной функции: ( т. к. n>0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2 :

, а интеграл сходится при m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Пример 4 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

.

Так как arctgx »x при x®0, то интеграл I1 эквивалентен интегралу , который сходится при m+1>-1 т. е. при m>-2 (пример1).

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

т. к. arctgx » p/2 при x® ¥. Следовательно, по второму признаку сравнения интеграл I2 будет сходится при m+n<-1, и расходится в противном случае.

Объединяя условия сходимости интегралов I1 и I2 получим условия сходимости исходного интеграла: m>-2 и m+n<-1 одновременно.

Замечание. В примерах 2-4 использовался 2 признак сравнения, который обеспечивает необходимые и достаточные условия сходимости, что позволяет, установив сходимость при некотором условии на значения параметров, не доказывать расходимость интеграла при нарушении полученных условий сходимости.

Пример 5 Исследовать на сходимость .

Данный интеграл содержит особую точку 0, в которой подынтегральная функция может обращается в бесконечность при p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Интеграл I1 является несобственным интегралом второго рода, и подынтегральная функция эквивалентна при x®0 функции xp (e-x ®1 при x®0), т. е. I1 сходится при p>-1 (пример 1).

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

При a>0 и любом p. Из этого, и того, что функция xpe-ax непрерывна, следует, что эта функция ограничена, т. е. существует такая константа M>0, что xpe-ax < M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

,

Т. е. интеграл I2 сходится при любом p.

Таким образом, исходный интеграл сходится при p>-1.

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q<1.

Рассмотрим интеграл I2 . При условии 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения и a=(1-p)/2. ).

Итак, I2 сходится при p>1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что При 1-p>0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено T-QE(1-P)T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

,

Где интеграл в правой части расходится, что и доказывает расходимость интеграла I2 .

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q<1 и p>1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен , т. е. сходится при p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Интеграл I2 сходится про признаку Дирихле-Абеля при p>0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0<p<1.

Абсолютная сходимость Абсолютная сходимость интеграла I1 уже установлена, рассмотрим абсолютную сходимость I2 . Оценим интеграл сверху:

, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

Если оба интеграла сходятся, то и интеграл от разности сходится, если один из интегралов расходится, а другой сходится - то интеграл от разности расходится. В случае расходимости обоих интегралов сходимость интеграла от разности подлежит дальнейшему исследованию. Нас интересует второй из описанных случаев.

расходится (пример 1) при p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0<p<1, сходится условно при 1£p<2.

< Предыдущая		Следующая >