Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Решение типового варианта контрольной работы. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.
Задача 1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?
Решение. Подбрасывание монеты будем считать одним опытом. По условию задачи производится 4 одинаковых испытания. Вероятность успеха (выпадение «решки») в каждом испытании равна 
. Требуется найти, что среди проведенных испытаний будет 
успешных. Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального закона распределения дискретной случайной величины. 
. В условиях нашей задачи 
.
Ответ: 0.25.
Задача 2. В квадрат со стороной 2 вписан квадрат, вершины которого лежат на серединах сторон большего квадрата. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в больший квадрат точка попадет в маленький квадрат.
Решение. Воспользуемся понятием геометрической вероятности. Будем искать вероятность попадания в меньший квадрат как отношение площади меньшего квадрата к площади большего квадрата. 
.
Ответ: 
.
Задача 3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
Решение. Разобьем цепь на три последовательно соединенных блока. И вычислим надежность каждого блока отдельно. Первый блок пропускает электрический ток в трех случаях: если исправен первый элемент и неисправен второй; если исправен второй элемент и неисправен первый; и если оба элемента исправны. Таким образом, надежность этого блока может быть представлена суммой: 
. Однако проще надежность этого элемента вычислить через вероятность противоположного события. Вычислим вероятность того, что блок не пропускает ток и надежность найдем по формуле вероятности противоположного события. Блок не исправен только в случае когда и первый и второй элементы неисправны: 
, следовательно, надежность блока может быть вычислена как разность: 
. Аналогично вычисляется надежность второго блока: 
. Теперь, зная надежности трех последовательно соединенных блоков, вычислим надежность цепи в целом. Схема пропускает ток только если все три блока исправны, то есть надежность схемы: 
.
Ответ: .
Задача 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.
|
Y |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
P |
0,1 |
0,1 |
X |
0,3 |
Решение. Найдем значение x из условия 
.
Зная X, становится возможным вычисление математического ожидания.
Ответ: 
Задача 5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания M нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю 
.
Решение. Построить доверительный интервал с доверительной вероятностью 
для математического ожидания M Произвольной случайной величины можно следующим образом:
При надежности 
=0,95 найдем табличное значение 
и запишем выражение, подставив значения из условия задачи:
,
.
Ответ: .
Задача 6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага
.
Решение. Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
В каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из состояния I в состояние J), которые образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:
Обозначим через 
вероятность того, что в результате N шагов (испытаний) система перейдет из состояния I в состояние J. Например 
- вероятность перехода из второго состояния в пятое за десять шагов. Отметим, что при N=1 получаем переходные вероятности 
.
Перед нами поставлена задача: зная переходные вероятности 
, найти вероятности перехода системы из состояния I в состояние J за N шагов. Для этого введем промежуточное (между I и J) состояние R. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния I за M шагов система перейдет в промежуточное состояние R с вероятностью 
, после чего, за оставшиеся N-M шагов из промежуточного состояния R она перейдет в конечное состояние J с вероятностью 
. По формуле полной вероятности получаем:
.
Эту формулу называют равенством Маркова. С помощью этой формулы можно найти все вероятности , а, следовательно, и саму матрицу 
. Так как матричное исчисление ведет к цели быстрее, запишем вытекающее из полученной формулы матричное соотношение в общем виде
.
Вычислим матрицу перехода цепи Маркова за три шага, используя полученную формулу:
Ответ: 
.
Задача 7. DX = 3. Используя свойства дисперсии, найдите D(4X-2).
Решение.
.
Ответ: 48.
Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов – так называемый Процесс гибели и размножения. Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы 
. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т. е. из состояния 
возможны переходы только либо в состояние 
, либо в состояние 
. В предположении, что все потоки событий, переводящие систему из одного состояние в следующее простейшие с соответствующими интенсивностями 
или 
, для отыскания предельных вероятностей, можно использовать систему уравнений Колмогорова для стационарных процессов. Правило для составления уравнений Колмогорова звучит следующим образом: слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния 
, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в I-ое состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят. Поток заявок характеризуется интенсивностью 
(заявок/час), поток обслуживания – интенсивностью 
(заявок/час). Согласно условию задачи 
(заявок/час), 
(заявок/час). В нашей задаче система массового обслуживания может находиться в одном из четырех состояний:
- когда все три компьютера свободны; 
- когда загружен работой только один компьютер; 
- когда заняты два компьютера; 
- когда все компьютеры заняты. В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
.
К этой системе добавляется нормировочное уравнение 
.
.
Решая эту систему уравнений, получим:
.
То есть в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка, 13,4% - две заявки и 3,3% времени – три заявки (заняты все вычислительные мощности).
Вероятность отказа в обслуживании (когда заняты все три компьютера), таким образом 
.
Относительная пропускная способность центра 
, то есть в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
Абсолютная пропускная способность 
, то есть в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
Среднее число занятых компьютеров есть математическое ожидание числа занятых каналов 
, то есть каждый компьютер будет занят обслуживанием заявок в среднем лишь на 
%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих компьютеров и выбрать компромиссное решение.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|