Ряды
Решение типового варианта контрольной работы. Ряды
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Ж)
З)
А) В данном случае
Вычислим
Следовательно, ряд расходится.
Б) Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
;
Вычислим
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
В) Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда
Вычислим
В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
Г) Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь
Вычислим
Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т. к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.
Д) Так как , то
.
Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.
Оценим общий член ряда:
.
Ряд
Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т. к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда .
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
Ряд сходится, если
или ;
или ,
.
Ряд расходится, если .
Неопределенный случай: т. е. или ,
Пусть : ‑ сходится.
Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
Пусть : .
Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т. к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что ‑ область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .
Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:
+...
Вычислим интеграл
.
Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :
Найдем , продифференцировав обе части равенства по :
Окончательно получим:
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
А) в интервале (-2, 2):
Б) по синусам на интервале .
Решение.
Разложение периодической (период ) функции имеет вид:
А) В нашем примере L=2.
Где
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
;
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
Аналогично предыдущему
И окончательно получим:
Подставляя полученные значения в разложение , получим:
Б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т. е. .
Найдем коэффициенты , используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом, .
< Предыдущая | Следующая > |
---|