Примеры решения типовых задач по теории рядов

Печать

Задача 37. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Данный степенной ряд можно записать так:

(1)

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений Х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд (1) примет вид

(2)

Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при N®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение Х=-2/3 принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в (1) Х=2/3, получим

(3)

Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение Х=2/3 не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

Задача 38. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции Sinx, будем иметь

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,0001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,

Задача 39. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию F(X), заданную на интервале – периоде (-p, p):

Решение. Заданная функция F(X) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

(1)

Где An И Bn определяются по формулам

(2)

(3)

Положив в (2) N=0, получим коэффициент А0:

Используя формулу (2) и заданную функцию, имеем

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты Bn:

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в (1), получаем

Задача 40. Функцию в интервале (0;p) разложить в ряд косинусов.

Решение. Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только косинусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-p;0) четным образом. В результате будет получена четная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;p). Известно, что ряд Фурье для четной функции имеет вид

(1)

Где

(2)

При N=0 получаем:

Интегрируем по частям:

Подставив найденные значения коэффициента Фурье в (1), получим