16. Несобственные интегралы второго рода
Если 
неограничена на 
, то особенность может быть в точках 
или внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке 
.
Определение. Пусть задана на полуинтервале 
и 
Пусть далее для всякого 
существует интеграл 
Предел 
называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается 
Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует Или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка 
, на верхнем и нижнем пределах одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Примеры.
1. Рассмотрим 
. Пусть 
Тогда 
Таким образом, рассмотренный интеграл при 
расходится. Пусть теперь 
Тогда
И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при 
сходится и при 
расходится. Аналогичные выводы можно сделать про несобственные интегралы 
,
.
Интегралы , 
, 
используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
2. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точке 
, поэтому 
.
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
3. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точках 
и , поэтому интеграл разбиваем на сумму двух, например, 
. Для первого из них 
. Следовательно, интеграл расходится и поэтому исходный интеграл также расходится.
4. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.
5. Выясним сходимость интеграла 
. Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому 
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 
.
6. Выяснить сходимость интеграла 
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем
7. Выяснить сходимость интеграла 
Подынтегральная функция имеет особенность в точке 
. По определению имеем
8. Выяснить сходимость интеграла 
.
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому разбиваем интеграл на сумму двух
. Для первого из них имеем
.
Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно исходный интеграл сходится.
Задание 2.6
Используя определение выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода.
1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
; 6. 
; 7. 
; 8. 
; 9. 
.
Ответы: 1.
; 2. расходится; 3.
; 4.
; 5.
; 6. 
; 7. расходится; 8. расходится; 9. расходится.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.11.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого 
существует 
Такое, что для всех 
выполняется неравенство 
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.12. Пусть для всякого 
Выполнено неравенство 
. Тогда, если интеграл 
сходится, то интеграл 
сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.
Теорема 2.13. Если и 
- бесконечно большие одного порядка роста, то есть 
, то интегралы И либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.
Примеры
1. Для интеграла 
подынтегральная функция имеет особенность в точках 
и 
. Точки в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно 
, имеем
Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.
2. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точках и 
. Точки и 
в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно 
, имеем 
Таким образом, порядок роста равен 
и интеграл сходится.
3. Выясним сходимость интеграла 
.
Подынтегральная функция имеет особенность в точке 
. Находя порядок роста этой функции относительно 
, имеем
Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.
4. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен 
И интеграл сходится.
5. Выясним сходимость интеграла 
Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем 
Таким образом, порядок роста равен 
И интеграл сходится.
6. В интеграле 
подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем
Таким образом, порядок роста равен 
И интеграл сходится.
7. Выяснить сходимость интеграла 
Подынтегральная функция имеет особенность в точках и 
Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при 
относительно 
равен 
, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при 
относительно 
равен 1. Поэтому интеграл расходится.
Задание 2.7
Используя теорему сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указаны: точка, в которой функция бесконечно большая; порядок роста подынтегральной функции относительно пробной функции; сходимость.
1. 
; 2. 
; 3. 
;
4. 
; 5. 
; 6. 
; 7. 
;
8. 
; 9. 
; 10. 
.
Ответы: 1. 
, 
, сходится; 2. 
, сходится; 3. 
, 
, сходится; 4. 
, сходится; 5. 
, расходится; 6. 
, 
, сходится; 7. 
, сходится; 8. 
, сходится; 9. 
, 
, сходится; 10. 
, сходится;
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|